Инженерная олимпиада 2023, 9 класс, задача 6
Стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через крайнюю точку сделанного из проволоки полукольца (точка на рисунке). Стержень соединен с полукольцом колечком, которое может без трения скользить по стержню и полукольцу. Найти мгновенную угловую скорость колечка в тот момент времени, когда угол между стержнем и диаметром, замыкающим полукольцо, равен (см. рисунок; диаметр, замыкающий полукольцо обозначен ОА). При каких углах больше угловая скорость колечка: при или при и почему?
Рассмотрим такое положение стержня, когда угол между ним и диаметром, замыкающим полукольцо, равен . И пусть после этого момента прошел малый интервал времени . Тогда стержень повернется на малый угол (см. рисунок; положение стержня спустя интервал времени показано пунктиром). Найдем перемещение колечка по полукольцу.
Очевидно, угол между стержнем и полукольцом в рассматриваемом положении равен (этот угол отмечен на рисунке двумя дугами). Действительно, угол между стержнем и радиусом , проведенным к колечку, равен (так как треугольник - равнобедренный), а полукольцо перпендикулярно радиусу (см. рисунок). Поэтому перемещение колечка, которое принадлежит одновременно и стержню и полукольцу, можно найти как (см. рисунок; отрезок отмечен на рисунке как ):
где - длина участка стержня от оси его вращения до колечка. Эту длину легко найти из равнобедренного треугольника или прямоугольного треугольника
где - радиус полукольца. В результате из формул (*)-(**) заключаем, что перемещение колечка по стержню не зависит от угла и составляет
Поэтому линейная скорость колечка равна , а угловая
Таким образом, из этой формулы следует, что угловая скорость колечка не зависит от угла между стержнем и диаметром ОА, замыкающим полукольцо, и равна удвоенной угловой скорости вращения стержня.
То обстоятельство, что угловая скорость колечка является постоянной, можно объяснить и по-другому. Найдем среднюю угловую скорость колечка за то время, пока стержень повернется на некоторый угол по отношению к диаметру ОА, замыкающему колечко.
Очевидно, колечко повернется за это время на удвоенный угол, независимо от угла поворота стержня. Действительно, угол, опирающийся на дугу окружности и лежащий на самой окружности всегда вдвое меньше угла, лежащего в центре окружности и опирающегося на ту же дугу. Поэтому средняя угловая скорость колечка равна
независимо от того, за какое время вычисляется эта скорость. А, следовательно, и мгновенная угловая скорость не зависит от и равна этой величине.
Правильная идея решения - рассмотреть малый интервал времени и найти перемещение колечка, которое движется одновременно по стержню и полукольцу - 1 балл
Правильное нахождение угла поворота стержня за малый интервал времени - 1 балл
Правильное нахождение перемещения колечка за малый интервал времени - 1 балл
Правильный ответ для угловой скорости колечка - 1 балла
Доказательство, того, что мгновенная угловая скорость колечка не меняется - 1 балл