Инженерная олимпиада 2022, 11 класс, задача 5
Если два бильярдных шара встают напротив центральных луз бильярдного стола (рисунок), опытный игрок может ударить по одному из шаров так, что (1) оба шара попадут в лузу, расположенную в направлении удара; (2) один попадет в лузу, расположенную в направлении удара, а второй в противоположную. Как это делается? Опишите, как нужно наносить удар, как сталкиваются в этом случае шары, и почему в одном случае оба шара движутся после удара вперед, а в другом - один вперед, один назад. Ответ обосновать.
Сначала исследуем вопрос об упругом столкновении шаров - без учета трения. Пусть один шар до столкновения покоился, второй имел скорость . Найдем скорости шаров после столкновения. Их определяет прежде всего закон сохранения импульса:
Здесь - массы шаров (считаем, что они одинаковы), , - скорости шаров после столкновения. Хотя закон сохранения импульса справедлив только для замкнутых систем (а система шаров - незамкнута), здесь он выполняется, поскольку внешние силы (силы тяжести и силы реакции стола) в любой момент времени компенсируют друг друга. Пусть, далее, столкновение центральное (скорость налетающего шара направлена по прямой, соединяющей центры шаров). Тогда скорости шаров после столкновения могут быть направлены только вдоль этой же прямой. В этом случае закон сохранения импульса в проекциях на направление движение дает
Поскольку бильярдные шары сделаны из упругого материала, механическая энергия в столкновении сохраняется. Поэтому
Решение системы уравнений дает два набора корней:
Первая пара корней отвечает начальному движению, то есть отсутствию столкновения. Результат столкновения шаров определяется второй парой корней: тот шар, что первоначально двигался, после центрального столкновения остановится. Тот, что покоился - станет двигаться точно с той же скоростью, что и первый до столкновения.
Но опытные бильярдисты знают: можно ударить так, что тот шар, которым мы бьем, тоже продолжит двигаться в том же направлении. А можно так, что ударный шар после столкновения будет двигаться назад. Такие удары используют, например, если два шара встают на одной прямой с двумя центральными лузами (см. рисунок). В этом случае можно забить сразу оба шара: или оба в ту лузу, в направлении которой наносится удар, или в обе по шару. Давайте рассмотрим такой удар, когда мы бьем выше центра шара (верхний рисунок).
Кроме поступательного движения удар и трение шара о поверхность стола заставят шар-биток (тот шар по которому наносится удар кием) вращаться, причем вращаться вперед, в направлении движения шара (второй сверху рисунок). А потом происходит столкновение. Но поскольку между шарами нет трения, шар-мишень вообще никак не может «почувствовать» вращение шара-битка. Поэтому для шара-мишени шар-биток как бы движется поступательно. Но в этом случае шар-биток передает свою скорость шару-мишени, а сам останавливается. Это значит, что после удара шар-мишень будет двигаться поступательно, а шар-биток стоять на месте и вращаться вперед (третий сверху рисунок). Если бы стол был гладким, он так бы стоял и вращался. Но между шарами и столом есть трение. Из-за трения шар-биток оттолкнется от шероховатостей стола и приобретет скорость, направленную вперед.
Аналогично при ударе ниже центра шара-битка можно заставить его после удара двигаться назад.
Доказательство, что при лобовом упругом столкновении шаров одинаковых масс шары обмениваются скоростями - 0,5 балла.
Правильная идея решения – вращение шаров и способ заставить их двигаться поступательно и вращаться (удар выше и ниже центра) – 0,5 балла.
Правильное рассмотрение столкновения вращающихся шаров – 0,5 балла.
Правильные ответы на оба вопроса – 0,5 балла.