Ломоносов 2024, 10 класс, задача 2
Однородный твердый стержень массой может свободно вращаться вокруг закрепленной оси, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости чертежа. Точка делит стержень в отношении , считая от левого края. Вертикальная нить, прикрепленная к левому краю стержня и неподвижной опоре, удерживает стержень в горизонтальном положении. Шарик массой подвешен на двух нитях, прикрепленных к оси вращения и правому краю стержня так, что центр шарика и точки крепления нитей образуют правильный треугольник. Система находится в равновесии. Нить, соединяющую шарик и ось вращения, пережигают; шарик начинает совершать колебания в той же вертикальной плоскости, в которой он находился в состоянии равновесия. Найдите отношение максимальной силы натяжения вертикальной нити в процессе колебаний к силе натяжения этой нити в состоянии равновесия. Нити считать невесомыми и нерастяжимыми, размером шарика и сопротивлением воздуха пренебречь. Числовой ответ округлить до десятых.
Решение.
Учитывая невесомость нитей, а также симметрию системы, можно сделать вывод, что силы натяжения нитей, на которых подвешен шарик , равны друг другу по модулю:
Записав второй закон Ньютона для шарика в проекции на ось , получим выражение:
где . Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку , примет вид:
где - длина стержня .
После пережигания нити шарик будет двигаться по дуге окружности с центром в точке и радиусом . Сила натяжения нити, прикрепленной к шарику , будет максимальна при его прохождении точки , когда нить займет вертикальное положение.
Скорость шарика в точке может быть найдена из закона сохранения полной механической энергии:
Тогда значение может быть получено из второго закона Ньютона, записанного в проекции на ось :
Момент силы натяжения относительно оси в этом случае также будет максимальным. Поэтому будет максимальной и сила натяжения нити, прикрепленной к точке стержня, которая может быть найдена из уравнения для моментов сил относительно той же оси:
С учетом полученного выше выражения для :
Используя соотношения, приведенные в условии, получим следующую оценку:
Ответ.
Участник приступил к решению задачи
Сделан верный поясняющий рисунок к задаче с указанием всех сил, действующих на шарик и стержень
Сделано утверждение о равенстве сил натяжения нитей
Записано уравнение моментов и получено выражение для силы натяжения TA
Сделано утверждение о том, что сила натяжения нити, прикрепленной к шарику, максимальна при прохождении нижней точки
Записан закон сохранения полной механической энергии и определена скорость шарика в нижней точке
Записан второй закон Ньютона для шарика в нижней точке
Записано уравнение моментов и получено выражение для силы натяжения TA(max)
Получена искомая физическая величина
Получен правильный численный ответ