Ломоносов 2024, 11 класс, задача 1
Два искусственных спутника движутся в одну сторону вокруг некоторой планеты по круговым орбитам, лежащим в одной плоскости. Космонавты, находящиеся на спутниках, поддерживают связь с помощью лазерного луча, направленного от одного спутника к другому. Периодически спутники на некоторое время оказываются в «слепых» зонах, когда лазерный луч перекрывается планетой, и связь между спутниками прерывается. Найдите длительность пребывания спутников в одной из таких слепых зон, если радиусы орбит спутников и , радиус планеты составляет несколько тысяч километров, а ускорение свободного падения на поверхности планеты . Преломлением луча в атмосфере планеты и влиянием других небесных тел на движение спутников можно пренебречь.
Указание. Для упрощения расчетов воспользуйтесь приближенной формулой , справедливой при малых значениях аргумента , выраженного в радианах.
Решение. При движении спутника массой по круговой орбите радиуса вокруг планеты массой с угловой скоростью согласно второму закону Ньютона и закону всемирного тяготения имеем
где - гравитационная постоянная. Отсюда угловая скорость спутника
Так как ускорение свободного падения на поверхности планеты равно
то
Для нахождения времени пребывания спутников в «слепой» зоне свяжем начало вращающейся системы отсчета с центром планеты (точкой , см. рисунок), а ее ось направим к одному из спутников, например к тому, который движется по орбите меньшего радиуса (к точке ). Проведем из точки две касательные к поверхности планеты до пересечения с орбитой второго спутника в точках и . Дуга - это и есть «слепая» зона. Из рисунка видно, что центральный угол, опирающийся на эту дугу,
где
Учитывая, что по условию , приближенно имеем
Пусть угловые скорости спутников в не вращающейся системе отсчета равны и . Поскольку спутники движутся в одном направлении, угловая скорость второго спутника относительно первого равна .
Поэтому время нахождения спутников в слепой зоне равно
Подставляя сюда выражения для угловых скоростей спутников, получаем окончательно, что
Ответ.
Участник приступил к решению задачи
Сделан верный поясняющий рисунок к задаче
Записаны уравнения движения для спутников
Получена формула для ускорения свободного падения
Определены угловые скорости каждого спутника через ускорение свободного падения
Показано, что «слепая» зона - дуга
Верно определена длина этой дуги
Получена верная формула для времени нахождения спутников в слепой зоне
Получен правильный численный ответ