Росатом 2026, Отбор, 10 класс, задача 5
На гладкой горизонтальной поверхности стоит треугольный невесомый клин, грани которого наклонены под углами и к поверхности. На ребре клина укреплён невесомый блок. Через блок переброшена невесомая и нерастяжимая нить, концы которой привязаны к двум одинаковым телам. Длина нити равна длине меньшей стороны клина (см. рисунок). Сначала клин и тела удерживают в таком положении, а в некоторый момент времени отпускают. Через какое время левый груз достигнет горизонтальной поверхности? Трение между всеми телами отсутствует, размеры тел малы.
Решение.
Можно решить эту задачу по второму закону Ньютона для каждого тела. Но можно поступить и по-другому. По законам сохранения энергии и импульса найти скорости тел в тот момент, когда левое тело оказывается на поверхности, а потом по законам равноускоренного движения - время движения. Реализуем этот план.
Пусть скорость клина в момент соскальзывания левого тела равна . Направлена эта скорость очевидно направо (поскольку тела движутся налево). В системе отсчета, связанной с клином, тела имеют одинаковые скорости, направленные вдоль наклонных граней клина (обозначим их как ; см. рисунок). Поскольку клин не имеет массы, закон сохранения проекции импульса на горизонтальное направление дает
Откуда находим
Поскольку скорости тел относительно земли находятся прибавлением к векторам скорости тел в системе отсчёта, связанной с клином, скорости самого клина, то из треугольников сложения скоростей получаем
Потенциальная энергия левого тела уменьшилась на , правого - увеличилась на . Потому закон сохранения энергии дает
Подставляя в эту формулу скорости тел (*), получим
Поскольку движение левого тела было равноускоренным с нулевой начальной скоростью, и в системе отсчета, связанной с клином, оно прошло расстояние приобретя в конце движения скорость , то время движения можно найти как
Правильная идея решения - использование законов сохранения энергии и импульса
Правильный закон сохранения горизонтальных проекций импульса для и
Правильный закон сохранения энергии
Правильно найдена конечная скорость тел в системе клина
Правильный ответ