Росатом 2023, Отбор, 11 класс, задача 5

Решение.

Введем несколько определений. Назовем центр сферы, образующей зеркало (т. на рисунке) оптическим центром зеркала, прямую , проходящую через центр перпендикулярно кругу, «замыкающему зеркало», главной оптической осью зеркала, точку пересечения главной оптической оси и зеркала (точку ) - полюсом зеркала, точку , лежащую на главной оптической оси посередине между центром и полюсом (на расстоянии от них) - фокусом зеркала (см. рисунок 1).

Давайте докажем несколько утверждений, касающихся построения хода лучей в сферическом зеркале (здесь и далее рассматриваются только лучи, падающие на зеркало под малыми углами).

1. Любой луч, проходящий через оптический центр зеркала и отражающийся от него, снова пройдет через оптический центр.

2. Любой луч, параллельный главной оптической оси зеркала, после отражения от зеркала, пройдет через его фокус.

3. Углы между главной оптической осью и лучом, падающим на полюс, и главной оптической осью и отражением этого луча одинаковы.

Пункты и - точные, т.е. выполняются для любых лучей, а их доказательства очевидны. Доказательство пункта является следующим. Рассмотрим луч , параллельный главной оптической оси и падающий в точку сферического зеркала. Тогда треугольник - равнобедренный, поскольку равны углы и ( - как внутренние накрест лежащие при параллельных и и секущей , - как углы падения и отражения луча). Поскольку , из теоремы синусов для треугольника имеем

Используя соответствующую формулу приведения и учитывая, что углы и по условию малы, получаем из

Поскольку точка пересечения луча и главной оптической оси не зависит от угла , в эту точку придут все лучи, параллельные главной оптической оси. Величину в дальнейшем будем называть фокусным расстоянием зеркала.

Докажем теперь, что изображение точечного источника, лежащего на главной оптической оси зеркала на расстоянии, большем его фокусного расстояния, действительно. А изображение источника, лежащего на главной оптической оси на расстоянии, меньшем фокусного, - мнимо. Согласно указанию к задаче изображение любого точечного источника существует, поэтому достаточно найти точку пересечения любых двух лучей, вышедших из источника. Очевидно, изображение источника, лежащего на главной оптической оси, лежит на главной оптической оси. Рассмотрим луч , вышедший из источника.

Так как для источника, находящегося от зеркала дальше фокуса, , а луч после отражения от зеркала идет параллельно главной оптической оси, то луч после отражения пересечет главную оптическую ось в некоторой точке , где и будет находиться изображение рассматриваемого точечного источника (рис. 3).

А вот для источника, который находится от зеркала на расстоянии, меньшем фокусного, , и отраженный луч не пересекает главную оптическую ось (так как, луч, вышедший из фокуса, отразится параллельно главной оптической оси). Поэтому в этом случае изображение источника будет мнимым, и лежать оно будет за зеркалом (см. рисунок 4).

При этом очевидно, что и в том, и в другом случае зеркало перевернет изображение в направлении «право-лево» (рис. 5).

А вот переворот изображения в направлении «верх-низ» будет происходить по-разному. Изображение источника, расположенного от зеркала на расстоянии, большем фокусного, будет перевернуто в направлении «верх-низ», меньшем фокусного - не перевернуто. Это легко понять, если рассмотреть луч, падающий на полюс зеркала и учесть, что изображение первого источника будет действительным, второго - мнимым (рис. 6).

Поэтому ориентация изображения для первого и второго рассмотренных случаев (а нам в дальнейшем понадобятся оба этих случая) будет такой, как это показано на рисунке 7. В первом случае предмет (треугольник) отмечен буквой , его изображение - буквой . Во втором случае предмет (сегмент) отмечен буквой , его изображение - буквой .

Теперь можно перейти к построению изображения лягушки в двух зеркалах. Поскольку по условию высоты зеркал равны четверти радиуса кривизны зеркал, фокус верхнего зеркала попадает на самую нижнюю точку нижнего зеркала, фокус нижнего зеркала - в середину отверстия в верхнем зеркале.

Поэтому если бы лягушка была точечной, она находилась бы точно в фокусе верхнего зеркала. Поэтому любой луч, попавший в отверстие и отразившийся от лягушки после отражения от верхнего зеркала, будет распространяться параллельно главной оптической оси зеркал. Поэтому на нижнее зеркало будет падать пучок параллельных лучей, которые после отражения от нижнего зеркала должны сойтись в его фокусе, т.е. точно в середине отверстия (рис. 8).

Таким образом, все лучи, отразившиеся от лягушки, соберутся в середине отверстия, и, следовательно, в этой точке будет находиться изображение лягушки в двух зеркалах. А поскольку здесь будут сходиться сами световые лучи, это изображение будет действительным. Следовательно, оптическая иллюзия представляет собой действительное изображение лягушки.

Разберем теперь вопрос об ориентации изображения лягушки. Для этого учтем, что лягушка неточечная. Тогда в рассматриваемом случае лягушка находится ближе фокуса к верхнему зеркалу, и, следовательно, верхнее зеркало создает мнимое изображение лягушки, которое находится очень далеко за верхним зеркалом, перевернуто в направлении «верх-низ» и не перевернуто в направлении «право-лево», как это было проиллюстрировано выше (рисунок 9, левая часть, лягушка отмечена символом , ее изображение в верхнем зеркале - ).

В результате на нижнее зеркало падают такие лучи, которые были как бы отражены этим изображением. А поскольку это изображение находится далеко то нижнего зеркала, оно создаст его действительное изображение ( на рисунке 9), которое будет перевернуто и в направлении «верх-низ», и в направлении «право-лево» (рис. 9, правая часть).

Таким образом, два зеркала создают действительное изображение лягушки, дважды перевернутое в направлении «верх-низ» (т.е. оставшееся в той же ориентации «верх-низ», что и лягушка) и перевернутое в направлении «право-лево».

Теперь давайте рассмотрим вопрос об изображении лягушки количественно. Пусть лягушка, имея высоту (этот размер задан в условии и равен ), имеет в поперечном направлении размер (рисунок 10; на рисунке этим размерам отвечают отрезки и соответственно). Давайте построим изображение отрезка в верхнем зеркале (которое для удобства построений показано на рисунке без отверстия) и найдем размер изображения.

Для построения изображения отрезка возьмем такие два луча, проходящие через точку . Это, во-первых, луч, проходящий через фокус зеркала и идущий после отражения параллельно главной оптической оси. А во-вторых, луч, падающий на полюс, который после отражения пойдет под таким же углом к главной оптической оси, что и падающий луч. Точка пересечения их продолжений () и будет изображением точки .

Далее. Из подобия треугольников и имеем

где - размер изображения в верхнем зеркале (в случае малых углов падения лучей ). С другой стороны, из подобия треугольников и

где - расстояние от зеркала до изображения. Из этих формул находим

Теперь построим изображение изображения лягушки в верхнем зеркале в нижнем зеркале. Луч, вышедший из точки и падающий на полюс нижнего зеркала отражается под тем же углом к главной оптической оси, луч, проходящий через фокус, отражается параллельно главной оптической оси. Находя точку их пересечения, получаем изображение точки в нижнем зеркале. В результате находим отрезок , являющийся изображением отрезка в двух зеркалах. Найдем его размеры.

Из подобия треугольников и получаем

где - расстояние от изображения до зеркала. С другой стороны, из подобия треугольников и имеем

(в формуле учтено, что для малых углов падения луча на зеркало ). Из формул - находим

а затем из второй формулы и формулы - увеличение лягушки в двух зеркалах

Учитывая, что , а по условию (где - радиус кривизны зеркала), получим