Росатом 2024, Отбор, 11 класс, задача 5
От равномерно заряженной зарядом сферы радиуса отрезали сегмент высотой . Сегмент удерживают в том же положении, в каком он был, когда был частью сферы (см. рисунок). Какой минимальной силой нужно действовать для этого на сегмент?
Решение.
Очевидно, что минимальная сила, которую нужно приложить к сегменту (и остальной части сферы) равна силе отталкивания сегмента от остальной части сферы. Найдем эту силу. Для этого рассмотрим очень маленький элемент площадью поверхности равномерно заряженной зарядом сферы радиуса и найдем, с какой силой этот элемент отталкивается от остальной сферы. Поскольку этот элемент очень мал, то действующую на него силу можно представить как
где - заряд этого элемента, - напряженность электрического поля остальной сферы в тех точках, в которых находится элемент . Заряд легко найти из условия равномерной заряженности сферы. Действительно, поскольку сфера заряжена равномерно, величина заряда элемента во столько же раз меньше заряда всей сферы, во сколько меньше площади поверхности сферы :
Напряженность электрического поля остальной сферы в точках, где расположен элемент можно найти из следующих соображений. С одной стороны, электрическое поле сферы во всех точках складывается из электрического поля, создаваемого рассматриваемым элементом и остальной сферой
С другой стороны, электрическое поле сферы вблизи элемента снаружи сферы равно
( - постоянная закона Кулона), внутри сферы - равно нулю. А поскольку электрические поля, создаваемые элементом снаружи и внутри сферы одинаковы по величине и противоположно направлены (по и против радиуса сферы, проведенного из центра в ту точку, где расположен элемент ), то поле остальной сферы в точках, где расположен элемент , равно половине поля сферы вблизи ее поверхности снаружи сферы
Поэтому сила, действующая на элемент со стороны остальной сферы, по величине равна
и направлена по радиусу сферы из центра (элемент отталкивается от остальной сферы).
Используя эту формулу можно найти и силу, действующую на сегмент сферы. Для этого мысленно разобьем сегмент на малые площадки, найдем силы, действующие на каждую площадку, просуммируем векторы сил. При этом для силы, действующей на каждую площадку, можно использовать формулу (1), дающую силу ее взаимодействия со всей сферой, а не только с оставшейся после отрезания сегмента части. Это связано с тем, что после суммирования силы, действующие между площадками отрезанного сегмента, сократятся по третьему закону Ньютона. И поскольку сила, действующая на отрезанный сегмент, направлена по его оси (это следует из симметрии задачи), то можно суммировать не векторы сил, а их проекции на ось сегмента.
Итак, рассмотрим малую площадку сегмента площадью , которую видно из центра сферы под углом к оси сегмента (см. рисунок; рассматриваемая площадка выделена жирным). Она отталкивается от остальной сферы силой (1), поэтому суммарная сила, действующая на сегмент, равна сумме проекций на ось сегмента всех сил, действующих на площадки сегмента
где - результирующая сила, действующая на сегмент, суммирование осуществляется по всем площадкам сегмента. Используя формулу (1), получим
Поскольку множители , , и одинаковы у каждого слагаемого суммы, их можно вынести за скобку (за знак суммы). В результате получим
Но величина имеет смысл проекции площади рассматриваемой площадки на основание сегмента. Поэтому сумма таких величин дает площадь основания сегмента. Так как площадь основания сегмента равна
то для силы, с которой сегмент отталкивается от остальной части сферы (и соответственно для минимальной силы, которой нужно удерживать сегмент, имеем окончательно
где - высота сегмента. Для получаем
где - постоянная закона Кулона.
Правильная идея решения - использование принципа суперпозиции для нахождения силы, действующей на каждую маленькую площадку, входящую в состав сегмента, со стороны остальной сферы и суммирование этих сил
Правильное нахождение напряженности электрического поля в области каждого малого элемента отрезанного сегмента
Доказательство, что суммировать нужно только проекции сил на ось сегмента и того факта, что можно суммировать проекции сил, действующих со стороны всей сферы, а не только той части, которая осталась после отрезания сегмента
Правильное сведение суммирования сил к суммированию проекций площадей элементов на круг, «замыкающий» сегмент
Правильный ответ