Росатом 2024, Отбор, 8 класс, задача 5
Два жука, расстояние между которыми , бегут навстречу друг другу. Один жук бежит с постоянной скоростью . Второй жук бежит с постоянной скоростью , но в тот момент, когда расстояние между жуками уменьшается вдвое, он останавливается и отдыхает в течение одной трети времени своего движения. Затем он снова движется со скоростью , но в тот момент, когда расстояние между жуками уменьшается вдвое по сравнению с тем, каким оно было, когда он начал двигаться во второй раз, он снова останавливается и отдыхает в течение одной трети времени своего второго движения, а потом опять начинает двигаться. И далее движение повторяется. Через какое время встретятся жуки, и какие расстояния пройдут до встречи?
Решение.
Если бы второй жук двигался без остановки со скоростью , то скорость сближения жуков составляла бы , то они встретились бы через время
и прошли бы до встречи расстояния
В нашей задаче картина движения иная. Чтобы понять, как сближаются жуки, заметим, что их встреча никогда не произойдет, пока второй жук отдыхает. Действительно, если расстояние между жуками в начале какой-то стадии движения было равно , то время движения второго жука до остановки составит
а расстояние между жуками в этот момент составит . Отдыхать второй жук будет в течение одной трети найденного времени, т.е. время
Первый жук пройдет за это время расстояние
что меньше, чем , и, следовательно, он не дойдет до второго жука. Поэтому указать, на какой стадии произойдет встреча жуков, нельзя. Другими словами, до встречи жуков пройдет бесконечное количество таких стадий движения. А поскольку средняя скорость сближения жуков на каждой такой стадии одинакова, то время встречи жуков будет определяться средней скоростью их сближения, вычисленной для любой полной стадии. Найдем эту скорость.
Пусть расстояние между жуками в начале какой-то стадии движения равно , время этой стадии (когда картина движения начинает повторяться) - , а в сумме за это время жуки пройдут расстояние . Тогда средней скоростью сближения жуков следует назвать величину
По условию второй жук движется в течение времени (1) и отдыхает в течение времени (2). Следовательно, полное время этой стадии составляет
Второй жук пройдет за это время расстояние , а первый (который всегда двигался) - расстояние . Поэтому в сумме жуки пройдут расстояние
Поэтому средняя скорость сближения жуков на этой стадии составляет
Отсюда находим время до встречи и пути, пройденные жуками
Правильная формула для времени встречи тел при условии их движения с постоянными скоростями
Правильное идея решения - использование средней скорости второго жука (или средней скорости сближения жуков)
Правильно найдены средняя скорость второго жука за время каждой стадии движения (или средней скорости сближения)
Обоснование, что средняя скорость второго жука (или средняя скорость сближения жуков) за все время до встречи совпадает со средней скоростью, вычисленной на любой стадии
Правильный ответ