Росатом 2024, Отбор, 10 класс, задача 5
Флаг на корабле, плывущем по морю со скоростью , развевается в направлении, составляющем угол с курсом корабля (левый рисунок, направление флага показано пунктиром). Когда скорость корабля увеличилась вдвое (без изменения курса) угол между флагом и курсом стал равен , (правый рисунок). Найти скорость ветра.
Решение.
Флаг на корабле развевается в направлении скорости ветра в системе отсчета, связанной с кораблем. Найдем эту скорость. По закону сложения скоростей имеем
где - скорость ветра относительно земли (величину, которой нам нужно найти), - скорость корабля относительно земли, - скорость ветра относительно корабля (в направлении которой развевается флаг). Треугольники, отвечающие закону сложения скоростей, показаны на рисунке, причем в этих треугольниках нам известны одна сторона (скорость корабля относительно земли и один угол ( или ) эти треугольники не определены.
Тем не менее, скорость корабля из двух треугольников найти можно. Основная идея заключается в том, что в этих треугольниках одна сторона (скорость ветра относительно земли) и угол между вектором скорости ветра относительно земли и скоростью корабля - одинаков (по условию направление курса корабля не менялось). Поэтому проекции скорости ветра относительно земли на направление скорости корабля и перпендикулярное ему одинаковы и до и после увеличения скорости.
Пусть эти проекции равны и . Тогда из треугольников сложения скоростей имеем
Решая эту систему уравнений относительно величин и , получаем
В результате из теоремы Пифагора находим скорость корабля
Использование векторного закона сложения скоростей
Нарисованы правильные треугольники сложения скоростей для первого и второго случаев
Правильные уравнения для углов в треугольниках через проекции вектора скорости ветра относительно земли на продольное и перпендикулярное направления
Правильно найдены проекции вектора скорости ветра относительно земли
Правильный ответ
При использовании другого метода анализа треугольников скоростей (при условии получения правильного ответа) участник получает полный балл.