Росатом 2022, Отбор, 9 класс, задача 5, 10 класс, задача 4
Тело падает с высоты на землю без начальной скорости из точки . На некоторой высоте от поверхности земли закрепляют дощечку, ориентированную под углом к горизонту. При падении тело испытывает абсолютно упругий удар о дощечку и падает на землю в точке (см. рисунок).
При какой высоте расстояние будет максимальным? Ответ обосновать. Найти это максимальное расстояние.
Решение.
Когда тело долетит до дощечки, оно приобретет скорость , которую можно найти по закону сохранения энергии
После отражения от дощечки, вертикальная составляющая скорости тела будет равна нулю, а горизонтальная равна скорости (1) (т.к. дощечка наклонена под углом к горизонту). Поэтому время падения тела на землю (после удара) равно времени свободного падения без начальной скорости с высоты . Поэтому
А поскольку по горизонтали тело двигается равномерно, то расстояние определяется соотношением
Подкоренное выражение как функция переменной представляет собой параболу, с ветвями, направленными вниз, которая при или при принимает одинаковое значение . Поэтому максимального значения она достигает при . А максимальное значение расстояния можно найти, подставив значение в формулу (2):
правильно найдена скорость тела около дощечки
правильное уравнение для пути, пройденным телом по горизонтали
правильное нахождение максимума пройденного пути как функции высоты расположения дощечки над землей
правильный ответ