Росатом 2026, Отбор, 8 класс, задача 5
К крыше очень высокого здания подвесили одинаковых грузов, связанных одинаковыми пружинами (см. рисунок).
Известно, что когда пружины растянулись, и все грузы оказались в положении равновесия, сотый (сверху) груз опустился на величину . На сколько опустился при этом пятидесятый (сверху) груз? Считать, что для любых удлинений пружин выполняется закон Гука. Грузы земли не касаются.
Решение.
В положении равновесия все пружины будут растянуты и смещение 100-го груза будет равно сумме удлинений всех пружин. Самая нижняя (сотая сверху пружина) растягивается массой , 99-ая пружина растягивается массой , 98-ая - массой и т.д. Поэтому по закону Гука находим величину смещения 100-го груза
Используя формулу для суммы натуральных чисел от 1 до
получим
Найдем теперь смещение 50-го груза. Проще всего это сделать так. Найти удлинение пружин от 51-ой, а потом отнять от величины (*). Поскольку 100-ая (сверху) пружина растягивается массой , 99-ая пружина растягивается массой , 98-ая - массой и т.д. ... 51-ая - , то суммарное удлинение пружин с 51-ой до 100-ой равно
Отсюда находим смещение 50-го груза
Сравнивая (*) и (**), находим
Правильное использование закона Гука
Умение находить сумму последовательных натуральных чисел
Правильно найдено смещение 100-го груза
Правильно найдено смещение 50-го груза (через и )
Правильный ответ