ВсОШ 2026, Муницип, 10 класс, задача 1

Решение.

1. Введём систему координат. Ось направим перпендикулярно линии, соединяющей центры шаров во время удара, а ось — вдоль этой линии. Так как шары гладкие, то сила взаимодействия шаров направлена перпендикулярно площади их соприкосновения, то есть вдоль оси . Тогда проекции импульсов, а вместе с ними и скоростей шаров, на ось не меняются.

Ось составляет угол с начальной скоростью первого шара. Тогда для связи начальной скорости первого шара и его конечной скорости имеем:

Отсюда скорость первого шара после удара:

3. Рассмотрим вспомогательную задачу о лобовом соударении двух шаров. Пусть шары массами и имеют противоположно направленные скорости и и испытывают лобовое столкновение. Найдём скорости шаров после удара. Для этого сначала рассчитаем скорость движения центра масс системы:

Будем считать, что импульс первого шара больше второго, тогда скорость центра масс будет сонаправлена со скоростью первого шара. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью центра масс, и рассчитаем скорости движения шаров:

Модули импульсов шаров в системе, движущейся со скоростью центра масс, одинаковы как до, так и после удара. Закон сохранения энергии в СО ЦМ можно записать как:

Тогда можно утверждать, что модули импульсов шаров после удара будут равны модулям импульсов шаров до удара. Последнее говорит о том, что скорости шаров после удара в СО ЦМ будут равны скоростям до удара, но при этом поменяют свои направления на противоположные. Найдём скорости шаров после удара в лабораторной СО:

Схему описанных рассуждений можно изобразить на рисунке:

В исходной задаче проекции скоростей шаров на ось не влияют на соударение шаров по оси . Для упрощения решения рассмотрим центральный удар шаров, движущихся со скоростями, равными проекциям скоростей шаров исходной задачи на ось . В случае такого центрального соударения скорости после упругого удара могут быть рассчитаны как:

где

— скорость центра масс в упрощённой задаче или проекция скорости центра масс на ось в исходной задаче. Воспользуемся первым равенством из системы для поиска отношения масс шаров:

Отсюда получаем:

2. Воспользуемся вторым равенством для поиска составляющей скорости второго шара вдоль оси :

Проекция скорости второго шара на ось остаётся неизменной:

Тогда по теореме Пифагора скорость второго шара:

4. Угол поворота вектора скорости второго шара найдём как:

Также для поиска ответов на вопросы 2–3 можно воспользоваться альтернативным методом решения. Запишем закон сохранения энергии в земной СО:

Визуализируем закон сохранения импульса в земной СО.

Тогда модули импульсов тел можно связать через теорему Пифагора:

Объединим уравнения в систему c двумя неизвестными — и ( — в этом методе находим способом, описанным выше):

Решая систему уравнений, получаем:

Ответ.

1. .
2. .
3. .
4. .