ВсОШ 2025, Муницип, 11 класс, задачи 17–19
Два маленьких шарика, массы которых равны и , связаны лёгкой нерастяжимой нитью длиной и удерживаются на столе, высота которого немного меньше длины нити. При этом нить натянута и более лёгкий шарик свисает с края стола на части нити длиной . Оба шарика одновременно отпускают без начальной скорости. Ускорение свободного падения . Поверхность стола горизонтальна, трение отсутствует.
1. Нижний шарик абсолютно упруго ударяется о пол. Определите, через какой промежуток времени после этого удара нить вновь окажется натянутой. Ответ дайте в секундах с точностью до сотых долей.
2. На какой максимальной высоте будет находиться центр масс двух шариков после упругого удара нижнего шарика о горизонтальную поверхность? Ответ дайте в метрах с точностью до сотых долей.
3. Пусть место падения второго шарика намазано суперклеем и второй шарик при ударе о пол мгновенно останавливается. Чему равна сила натяжения нити в момент времени сразу после остановки второго шарика? Ответ дайте в ньютонах с точностью до десятых долей.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
Решение.
1. Модуль скорости шариков к моменту удара найдём при помощи закона сохранения механической энергии:
После удара скорость первого шарика направлена вертикально вверх, а скорость второго — горизонтально.
Законы движения шариков в поле тяжести Земли:
Нить окажется натянутой в момент времени, когда расстояние между первым и вторым шариком станет равным :
Получаем, что нить должна натянуться в момент, когда , то есть второй шарик долетает до пола. Первый шарик в этот момент находится на высоте:
Видим, что оба шарика упадут на пол одновременно.
2. Вертикальная координата центра масс системы изменяется по закону:
Условие экстремума для :
Вычислим производную и приравняем её к нулю (или найдём координаты вершины соответствующей параболы):
Получаем, что максимальная высота центра масс системы достигается в момент времени:
Высота центра масс в этот момент:
3. Как было найдено в п. 1, в момент удара второго шарика о пол первый также ударяется о неё. До этого момента нить была не натянута, а значит, первый шарик двигался строго по вертикали. После удара его скорость направлена вертикально вверх и равна ; в дальнейшем он будет двигаться по окружности радиуса , пока нить остаётся натянутой. В соответствии со вторым законом Ньютона получаем:
Максимальный балл за задачу