Покори Воробьевы горы 2024, 9 класс, задача 2

Ответ на вопрос: Насыщенный пар - пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью. Динамическое равновесие между паром и жидкостью (при котором количество молекул, переходящее за «большое» с точки зрения молекул время из пара в жидкость, равно количеству молекул, переходящих за то же время из жидкости в пар) устанавливается при разных скоростях движения молекул при разных их концентрациях в паре. Плотность пара пропорциональна концентрации молекул, а скорости их движения зависят от температуры. Поэтому условие равновесия устанавливает однозначную связь между плотностью насыщенного пара и его температурой. При этом в устойчивых равновесных состояниях плотность пара не может быть больше плотности насыщенного пара, соответствующей его температуре - при превышении плотности насыщенного пара его состояние становится неустойчивым, и через небольшое время начинается конденсация пара, за счет которой плотность уменьшается до значения плотности насыщенного пара. Можно отметить, что все характеристики насыщенного пара, зависящие от концентрации и скорости движения молекул, тоже можно рассматривать как функции только одного параметра - температуры (см., например, указание про давление насыщенного пара в условии задачи).

Решение задачи: В первую очередь обратим внимание, что давление пара под поршнем не должно изменяться, поскольку неизменны внешнее давление и сила тяжести, действующая на поршень. Поскольку пар изначально был насыщенным, и под поршень еще добавили воды (в твердой фазе), то пар должен остаться насыщенным. В результате мы доказали, что температура пара в конечном состоянии будет равна начальной, то есть . Значит, после помещения кусочка льда под поршень он должен полностью растаять и образовавшаяся вода должна нагреться до этой температуры. Так как вода теплоизолирована, то энергия на таяние льда и нагрев воды будет получена за счет конденсации пара. Учитывая соотношение плотностей пара и жидкой воды (почти ), мы понимаем, что объем воды, образовавшейся при конденсации пара и таянии льда, будет намного меньше объема сконденсировавшегося пара - именно из-за этого поршень и опускается. Запишем уравнение теплового баланса:

Здесь - изменение температуры воды, образовавшейся при таянии льда. Масса льда, как ясно из условия, связана с сечением цилиндра соотношением . Изменение объема пара можно (пренебрегая объемом жидкой воды под поршнем) выразить через искомую величину - сдвиг поршня по вертикали: . Таким образом,

Как видно, эта величина вовсе не является малой, и наш цилиндр должен иметь большую высоту, чтобы установление равновесия было возможно без полной конденсации пара. В условии дано давление насыщенного пара, поскольку ученики 8-9 класса могут не знать о том, что в удельной теплоте парообразования учтена работа пара при расширении в ходе испарения и работа над паром при его сжатии в ходе конденсации. Зная давление, они могут убедиться, что вклад этой работы в ответ не очень существенен (менее ).

Ответ: .