МОШ 2026, 10 класс, задача 4
На гладкое проволочное кольцо радиуса , закреплённое в вертикальной плоскости, насажена маленькая массивная бусинка массой . К бусинке прикреплён один конец тонкой нерастяжимой невесомой нити (см. рис. 5). Другой её конец пропущен через маленький идеальный блок и прикреплён к грузу массой , где - постоянный коэффициент. Блок закреплён в точке, лежащей на горизонтальном диаметре кольца. Положение бусинки на кольце характеризуется углом между направлениями на блок и на бусинку из центра кольца.
- Пусть . Определите угол (или углы), соответствующий положению равновесия бусинки.
В начальный момент времени бусинке, находящейся в положении устойчивого равновесия, сообщают ударом скорость , направленную вдоль кольца в сторону от блока. При каком минимальном значении скорости бусинка сможет достичь блока, двигаясь всё время в одну сторону (по часовой стрелке)?
- При каких значениях параметра на кольце отсутствуют точки, в которых бусинка могла бы находиться в состоянии устойчивого равновесия?
- Пусть теперь между бусинкой и проволокой есть трение, а коэффициент трения зависит от угла как . Существует ли для случая равных масс () положение устойчивого равновесия, при котором ? Найдите это положение (или положения) или докажите, что их не существует.
Размерами крепления кольца, блока, бусинки и груза можно пренебречь. Нить достаточно длинна, так что груз не сталкивается с блоком при движении бусинки. На рис. 5 пропорции изменены для наглядности. Ускорение свободного падения равно .
Геометрически обосновано выражение для изменения длины нити (или высоты груза): .
Записана потенциальная энергия системы sin sin или эквивалентная формула.
Найдено условие экстремума энергии через взятие производной: d\varphi = 0$.
Проведены тригонометрические преобразования и получено квадратное уравнение относительно cos.
Записано уравнение баланса сил в проекции на касательную к кольцу (учёт проекций и ).
Использована связь силы натяжения нити с весом груза () и получено тригонометрическое уравнение.
Найден численный корень для устойчивого равновесия: (или cos).
Найден численный корень для неустойчивого равновесия: (или ).
Доказана устойчивость и неустойчивость (любым способом).
Установлена кинематическая связь скоростей тел: cos, где — угол между нитью и касательной.
Составлено уравнение закона сохранения энергии для перехода из точки в .
Получен итоговый расчётный ответ для минимальной скорости: .
Получена общая зависимость положения равновесия от параметра в виде cos.
Проведён анализ физической области существования устойчивого корня (cos).
Исследовано поведение функции (вторая производная или знак силы) при изменении .
Сформулирован верный итоговый ответ: при устойчивое равновесие отсутствует.
Получены выражения для сил нормальной реакции и проекции силы тяжести на касательную.
Записано условие отсутствия скольжения через коэффициент трения: .
Исследовано соотношение сил или критический угол arctg в диапазоне .
Сформулирован верный итоговый ответ: устойчивое равновесие в данном диапазоне углов невозможно.