Полусферы
Имеются две диэлектрические равномерно заряженные полусферы с радиусами и и зарядами и соответственно. Полусферы имеют общий центр и расположены относительно друг друга так, что плоскость, закрывающая одну полусферу, перпендикулярна плоскости, закрывающей другую полусферу (см. рисунок). Найдите энергию электростатического взаимодействия полусфер.
Решение.
Задача допускает несколько способов решения. Покажем два из них.
Пусть искомая энергия взаимодействия равна . Дополним рассматриваемую систему зарядов ещё одной заряженной полусферой радиусом , так чтобы образовалась малая заряженная сфера. Потенциал поля малой сферы во всех точках большой полусферы равен , поэтому энергия взаимодействия сферы радиусом и полусферы радиусом равна . С другой стороны, эта энергия равна удвоенной энергии взаимодействия большой и малой полусфер, иначе говоря, удвоенной искомой энергии, поэтому .
Другой способ решения предполагает анализ распределения потенциала полусферы. Рассмотрим поле большой полусферы. Потенциал этого поля в общем центре полусфер равен . Если большую полусферу дополнить до целой сферы, то потенциал в любой точке внутри сферы будет равен . Отсюда следуют два утверждения.
А) Во всех точках среза большой полусферы потенциал равен .
Б) Если рассмотреть две точки и , симметричные относительно среза большой полусферы, то потенциалы в этих точках равны и , где - некоторая величина, зависящая от расположения точек и .
Из утверждения Б) следует, что если в точки и поместить равные заряды , то их суммарная энергия взаимодействия с внешней сферой будет равна . А поскольку внутренняя полусфера симметрична относительно среза внешней полусферы, то её можно разбить на пары одинаковых малых зарядов . Отсюда следует, что полная энергия взаимодействия внутренней полусферы с внешней равна
Ответ. .
Предложена новая совокупность распределения зарядов, упрощающая расчёт энергии взаимодействия.
Записана формула для энергии взаимодействия «новой» системы через исходные параметры, данные в условии задачи.
Записана формула, дающая связь между энергией взаимодействия «новой» системы и энергией взаимодействия исходной системы.
Найден верный ответ .
Доказано, что в любой точке круга, дополняющего большую полусферу до замкнутой поверхности, потенциал равен .
Высказана мысль о том, что если потенциалы точек, симметричных относительно среза большой полусферы, равны и , где - некоторая константа, зависящая от расположения точек.
Найден верный ответ .