Вынуждают колебаться!
К одному концу невесомой нити, перекинутой через идеальный блок, присоединён пружинный маятник, состоящий из лёгкой пружины с тяжёлым шариком. Собственная частота колебаний маятника (в отсутствие затухания) равна . На другой конец нити действует такая внешняя сила, что начиная с нулевого момента времени его координата по вертикали меняется по закону (см. рисунок). В нулевой момент времени маятник находится в положении равновесия и не движется. В обеих частях задачи считается, что нить при колебаниях ни в один из моментов времени не провисает. Шарик движется только по вертикали и не раскачивается.
А) В этой части предлагается пренебречь всеми силами сопротивления. Тогда движение шарика будет представлять собой суперпозицию колебаний с частотами и :
где - отклонение шарика от положения равновесия (см. рисунок), , , - неизвестные постоянные. Определите максимально возможное отклонение шарика от положения равновесия в следующих случаях:
А1) ;
А2) .
Б) В этой части предлагается учесть слабое затухание колебаний маятника. Предположим, что затухание обусловлено силой, пропорциональной скорости шарика и направленной против скорости. Тогда через некоторое время после начала процесса координата шарика будет изменяться периодически по гармоническому закону с частотой . Однако колебания шарика будут сдвинуты по фазе относительно колебаний конца нити, к которому прикладывается внешняя сила, на :
Определите абсолютное значение сдвига фаз при следующих значениях частоты :
Б1) , ;
Б2) .
Ответ. А1) при ; А2) при . Б1) и ; Б2) .
Оценивать решения предлагается на основе распределения баллов, данного в условии, с учётом следующих дополнительных соображений.
В части А считаются верными ответы, полученные в нулевом приближении, и в линейном по малому параметру приближении.
Если предельный переход, соответствующий сильным неравенствам в условии, не сделан, а дана только верная общая формула для двух случаев, то такой ответ оценивается суммарно в балла.
Если в части А получены неверные ответы, но есть отдельные верные утверждения, например получено уравнение колебаний или аналогичное, то они оцениваются по схеме критериев.
Получена амплитуда составляющей, колеблющейся с частотой : , с точностью до знака.
В части Б каждый из верных ответов оценивается в балла вне зависимости от того, каким образом он получен.
Если в части Б получены ответы, выраженные через неизвестный коэффициент затухания , то такие ответы оцениваются в балл за каждый.
Если в части Б верные ответы не получены, но есть отдельные верные рассуждения, например получено уравнение колебаний , они оцениваются по схеме критериев.