Колебания бусинки
( баллов) Бычков А.И.
На гладком, равномерно заряженном полукольце радиусом , закреплённом в вертикальной плоскости, в его нижней точке покоится одноимённо заряженная бусинка массой и зарядом . Линейная плотность заряда полукольца равна . Ускорение свободного падения равно .
а) ( балла) При каких значениях заряда равновесие бусинки будет устойчивым? Параметры , , и считаются известными.
б) ( балла) Пусть заряд бусинки таков, что положение её равновесия в нижней точке полукольца является устойчивым. Определите период малых колебаний бусинки вблизи положения равновесия. Параметры , , , и известны.
Ответ
Решение.
а) Сместим бусинку из положения равновесия на малый угол от вертикали.
Из симметрии следует, что участок полукольца действует на бусинку по нормали с силой , как показано на рисунке. Напишем условие существования возвращающей силы в касательном к полукольцу направлении (ось ):
Так как
(направлена под углом к оси ), и справедлива приближённая формула , получаем
б) Запишем второй закон Ньютона для бусинки (см. рисунок):
Следовательно, период малых колебаний равен