Колебания бусинки
( баллов) Бычков А.И.
На гладком, равномерно заряженном полукольце радиусом , закреплённом в вертикальной плоскости, в его нижней точке покоится одноимённо заряженная бусинка массой и зарядом . Линейная плотность заряда полукольца равна . Ускорение свободного падения равно .
а) ( балла) При каких значениях заряда равновесие бусинки будет устойчивым? Параметры , , и считаются известными.
б) ( балла) Пусть заряд бусинки таков, что положение её равновесия в нижней точке полукольца является устойчивым. Определите период малых колебаний бусинки вблизи положения равновесия. Параметры , , , и известны.
Решение.
а) Сместим бусинку из положения равновесия на малый угол от вертикали.
Из симметрии следует, что участок полукольца действует на бусинку по нормали с силой , как показано на рисунке. Напишем условие существования возвращающей силы в касательном к полукольцу направлении (ось ):
Так как
(направлена под углом к оси ), и справедлива приближённая формула , получаем
б) Запишем второй закон Ньютона для бусинки (см. рисунок):
Следовательно, период малых колебаний равен
Сила отталкивания полукольца представлена, как сумма сил, действующих со стороны элемента длины (где - угол отклонения бусинки от вертикали) и со стороны оставшейся части полукольца, направленной по нормали к ней.
Указано значение и направление силы, действующей со стороны элемента длины .
Приведена формула приближённого вычисления синуса малого угла.
Приведён верный ответ на вопрос пункта а).
Верно записан 2-й закон Ньютона для бусинки.
Указано, чему равна частота гармонических колебаний.
Приведён верный ответ на вопрос пункта б).