Разности
Две одинаковые плоские диэлектрические пластины, заряженные равномерно по поверхности с плотностью и , располагаются параллельно друг другу на небольшом расстоянии (см. рисунок). Каждая пластина имеет форму ромба с острым углом () и длиной стороны (). Любая вершина верхней пластины и ближайшая к ней вершина нижней пластины лежат на общем перпендикуляре к плоскостям пластин.
А) Найдите разность потенциалов центров пластин. Центром ромба считается точка пересечения его диагоналей.
Б) Определите разность потенциалов середин близлежащих сторон пластин (точки B1 и Б2).
В) Чему равна разность потенциалов вершин ромбов и ? А разность потенциалов вершин и ?
Решение
А. Внутри конденсатора, вдали от его краёв поле можно считать однородным и равным . Разность потенциалов центров пластин равна . Б) Вблизи края конденсатора электрическое поле искривляется. Вертикальная составляющая напряжённости поля вблизи края конденсатора может быть найдена на основе соображений симметрии. Обозначим составляющую напряжённости электрического поля вблизи точки , перпендикулярную пластинам конденсатора. Совместим два одинаковых конденсатора, так чтобы совпадали их края (см. рисунок, вид сверху).
Напряжённость поля вблизи точки внутри составного конденсатора будет равна . С другой стороны, эта напряжённость равна , поэтому , а искомая разность потенциалов равна . В) Рассмотрим конденсаторы, обкладки которых представляют собой ромбы с малым углом при вершине. Пусть для примера этот угол равен . Совместим острыми углами таких конденсаторов. Тогда на основе соображений симметрии, рассуждая аналогично предыдущему пункту, можно найти перпендикулярную обкладкам составляющую напряжённости электрического поля внутри конденсатора вблизи угла, получится значение . Отсюда следует, что для конденсатора с обкладками в виде ромбов с углом перпендикулярная обкладкам составляющая напряжённости электрического поля равна , (3) где угол измеряется в радианах. На основании формулы (3) легко находим искомые разности потенциалов: , . Ответ: А) . Б) . В) , .
Получено верное значение разности потенциалов .
Найдено верное значение разности потенциалов .
Найдено верное значение разности потенциалов точек и : .
Найдено верное значение разности потенциалов точек и : .