Нелинейный шнур
Графики зависимостей и упругой силы и энергии деформации нелинейного резинового шнура от его удлинения изображены на рисунке, представленном ниже. Зависимости соответствует чёрная линия увеличенной толщины, при этом значения считываются с левой шкалы. Зависимости соответствует серая линия, значения считываются со шкалы справа.
Пусть один конец шнура закреплён на потолке, а к другому концу присоединён груз массой . Сначала шнур имеет форму прямой линии, не провисает, но и не деформирован, груз удерживается внешней силой. В некоторый момент времени груз освобождают. Найдите максимальное удлинение шнура , равновесное удлинение , устанавливающееся спустя длительное время после начала процесса, когда колебания прекращаются, а также период малых колебаний груза на шнуре вблизи положения равновесия для двух значений массы .
А) .
Б) .
Ускорение свободного падения равно .
Ответ
Решение.
Поскольку потери энергии при падении груза малы, максимальное удлинение может быть найдено на основании закона сохранения энергии. Искомая величина в каждом случае есть решение уравнения
которое может быть найдено графическим способом. Сделав необходимые построения (см. график на рисунке, представленном ниже), находим значения максимального отклонения для каждого пункта. В пункте А получается значение , в пункте Б получается .
Ещё проще найти равновесное значение удлинения. Искомая величина в этом случае удовлетворяет уравнению
которое легко решается графически. В результате в пунктах А и Б получается соответственно и .
Для определения периода колебаний будем рассматривать груз на резинке, как пружинный маятник, при этом коэффициент жёсткости пружины будем считать равным тангенсу угла наклона касательной к графику силы в положении равновесия. В пункте А жёсткость вблизи положения равновесия равна , в пункте Б . Таким образом период малых колебаний в пункте А равен
В пункте Б получается другое значение
Ответ. А) , , . Б) , , .