Аэрохоккей
Шайбы одинаковой массы могут скользить по горизонтальной поверхности без трения. Боковая поверхность шайб гладкая, столкновения между шайбами можно считать абсолютно упругими.
А) В начальный момент шайбы , , , располагаются так, что их центры являются вершинами квадрата (см. рисунок), шайба налетает на шайбу со скоростью . Найдите скорости шайб после того, как все столкновения прекратятся.
Б) В этом случае центры неподвижных шайб образуют ромб с острым углом (см. рисунок), шай- ба налетает на шайбу с такой же скоростью , как и в первом случае. Найдите скорости шайб после того, как все столкновения прекратятся. В обоих случаях считайте, что столкновения происходят мгновенно. За время столкновения шайбы не успевают сдвинуться. В точках на рисунке, где шайбы касаются друг друга, на самом деле они разделены микроскопическими воздушными зазорами.
Решение
А) Шайба 1 останавливается, передавая импульс шайбе 2. Далее происходит столкновение шайбы 2 с шайбами 3 и 4. Шайбы гладкие, следовательно их скорости в процессе столкновения меняются только под действием сил нормальной реакции, поэтому после столкновения скорости третьей и четвёртой шайб направлены под углом к горизонтальной прямой, направление скорости второй шайбы не меняется. Теперь расчёт скорости второй шайбы и третьей шайбы после столкновения может быть сделан на основе законов сохранения. Получится система уравнений
Решая систему, находим следующие значения скоростей второй и третьей шайб: , . Таким образом, вторая шайба останавливается, а третья и четвёртая движутся со скоростью по траекториям, составляющим одинаковые углы с горизонтальной прямой. Легко видеть, что в процессе дальнейшего движения шайбы 3 и 4 с пятой шайбой не сталкиваются, поэтому пятая шайба покоится в исходном положении. В итоге имеем ответы:
Б) В этом случае после столкновения второй шайбы с шайбами 3 и 4 скорости этих шайб и направлены под углом к горизонтальной прямой, вдоль которой до и после столкновения движется вторая шайба. Обозначив скорость второй шайбы после столкновения, запишем законы сохранения. В итоге получим систему уравнений
где . Решив систему, находим значения скоростей: , . Таким образом, вторая шайба летит назад. Очевидно, далее она сталкивается с первой шайбой и передаёт ей весь свой импульс. Шайбы 3 и 4 при дальнейшем движении сталкиваются с шайбой 5. Рассмотрим это столкновение.
Из симметрии следует, что скорость шайбы 5 после столкновения будет направлена горизонтально. Пусть ось системы координат также направлена горизонтально. Обозначим проекцию скорости шайбы 3 после столкновения на направление, перпендикулярное линии, соединяющей центры шайб 3 и 5. Проекция скорости на это направление при столкновении не меняется, поэтому . Проекцию скорости шайбы 3 на направление вдоль линии, соединяющей центры 3 и 5 обозначим . Положительному значению проекции соответствует направление от шара 3 к шару 5.
Закон сохранения импульса в проекции на ось даётся уравнением
которому после преобразований можно придать вид
(5)
Закон сохранения энергии можно записать в виде
Законы сохранения образуют систему уравнений. Эту систему можно решить, например, так: выразим из закона сохранения импульса, и подставим в закон сохранения энергии. В итоге получится квадратное уравнение
Решив которое, найдём корни
Второй корень не имеет физического смысла, поскольку скорость шайбы 5 в этом случае, как следует из формулы (5), оказывается равна нулю. Подставляя значение в закон сохранения импульса (5), получаем ответ для скорости пятого шара
Для конечной скорости шаров 3 и 4 имеем
Ответ: А) , ; Б) , , , .
Верно найдена скорость шайбы 1.
Верно найдена скорость шайбы 5.
Верно записан закон сохранения импульса для столкновения шайб 2, 3 и 4.
Верно записан закон сохранения энергии для столкновения шайб 2, 3 и 4.
Верно найдена скорость шайбы 2.
Верно найдена скорость шайбы 3.
Верно найдена скорость шайбы 4.
Верно записан закон сохранения импульса для столкновения шайб 2, 3 и 4.
Верно записан закон сохранения энергии для столкновения шайб 2, 3 и 4.
Найдено верное значение и направление (против начальной скорости ) скорости шайбы 2 после столкновения с шайбами 2, 3 и 4.
Верно найдена скорость шайб 3 и 4 после столкновения шайб 2, 3 и 4: .
Указано, что после столкновения шайб 2, 3 и 4 происходит второе столкновение шайб 2 и 1.
Верно найдены скорости шайб 2 и 1 после второго столкновения.
Указывается, что в процессе столкновения шайб 3, 4 и 5 проекция скорости шайбы 3 на направление, перпендикулярное к линии, соединяющей центры шайб 3 и 5, не меняется.
Верно записан закон сохранения импульса для столкновения шайб 3, 4 и 5.
Верно записан закон сохранения энергии для столкновения шайб 3, 4 и 5.
Получена верная система уравнений, решив которую можно определить скорости шайб 3, 4 и 5 после столкновения.
Верно найдена скорость шайбы 5 после столкновения шайб 3, 4 и 5.
Верно найдены скорости шайб 3 и 4 после столкновения шайб 3, 4 и 5.
Получены верные значения всех конечных скоростей.