ВсОШ 2026, Муницип, 11 класс, задача 2
Для перемещения готовых изделий с ленты конвейера, движущегося горизонтально со скоростью , используется неподвижная горизонтальная направляющая перекладина , установленная чуть выше ленты и образующая угол с перпендикуляром к направлению скорости ленты (на рис. вид сверху). Коэффициент трения изделий о ленту конвейера равен , а о направляющую перекладину — . Считайте, что движение деталей носит поступательный характер, то есть они не вращаются при трении о перекладину.
-
При каком минимальном угле изделия будут соскальзывать с ленты конвейера? Ответ дайте в градусах с точностью до целого числа. (4 балла)
-
Перекладину устанавливают под углом . Считая перекладину достаточно длинной, а ленту достаточно широкой, найдите установившуюся скорость движения изделий вдоль неё. Ответ дайте в с точностью до целого числа. (7 баллов)
Решение.
1. После установления контакта детали с направляющей на деталь в горизонтальной плоскости будут действовать две силы трения: со стороны ленты конвейера и со стороны направляющей, а также сила реакции со стороны направляющей.
Для снятия (соскальзывания) детали с конвейера необходимо, чтобы проекция силы трения на направляющую была больше силы трения о направляющую.
Рассмотрим переходный случай — момент начала движения детали вдоль направляющей:
С учётом того, что сила реакции , получаем
Соответственно, для минимального угла выбираем случай равенства:
Обратите внимание, что данный результат не зависит от значения коэффициента трения , главное, чтобы он был отличен от нуля, иначе детали не смогут двигаться по конвейеру.
2. При выполнении условия детали будут скользить вдоль направляющей. Заметим, что по мере роста скорости движения деталей вдоль направляющей вектор скорости их проскальзывания относительно конвейера будет поворачиваться, «прижимаясь» к нормали . Вследствие этого будет поворачиваться и вектор силы трения из начального положения «вдоль конвейера» до установившегося положения, при котором он будет составлять некоторый угол с нормалью к направляющей.
Следовательно, в установившемся режиме
С другой стороны, из треугольника скоростей по теореме синусов имеем:
Выражая отсюда , получаем
Окончательно для установившейся скорости поступательного движения деталей вдоль направляющей получаем
Ответ.
1. .
2. .
Максимальный балл за задачу