Робофест 2022, Отбор, 9 класс, задача 1
Три одинаковых пластиковых цилиндра прикреплены к концам легкой нерастяжимой нити и подвешены к потолку с помощью пяти идеальных блоков (см. рисунок). Первый цилиндр стоит на одной из сторон легкого рычага, а второй и третий — опущены в одинаковые сосуды с водой, помещенные на другую сторону того же рычага. Масса одного сосуда с водой равна двенадцатой части массы одного цилиндра (). Расстояния от точки опоры рычага до центров площадей опоры первого груза и сосудов связаны соотношениями . Плотность пластика, из которого изготовлены цилиндры, в раза больше плотности воды. Система находится в равновесии.
-
Найдите отношение величины силы тяжести, действующей на один груз, к величине силы натяжения нити . Ответ запишите с точностью до десятых.
-
Какая часть объема второго цилиндра находится под поверхностью воды в сосуде? Ответ запишите в процентах, с точностью до целого значения.
-
Какая часть объема третьего цилиндра находится под поверхностью воды в сосуде? Ответ запишите в процентах, с точностью до целого значения.
Возможное решение. Сначала рассмотрим силы, приложенные к рычагу. Сила, действующая на левую сторону рычага со стороны первого цилиндра, равна по величине силе, действующей на этот цилиндр со стороны рычага, и ее можно найти из условия равновесия цилиндра:
Аналогично находим величины сил, действующих на правую сторону рычага со стороны дна каждого сосуда:
Условие равновесия рычага
дает еще одно уравнение
из которого можно определить силу натяжения нити:
то есть
Сразу заметим, что второй и третий цилиндры одинаковы, они помещены в одинаковые сосуды с водой и подвешены одинаковым образом к одной и той же легкой нерастяжимой нити, сила натяжения которой во всех точках одинакова. Ясно, что силы Архимеда, действующие на эти грузы, в состоянии равновесия должны быть одинаковы и равны
С учетом полученного выражения для силы натяжения найдем, что
По закону Архимеда эта величина связана с объемом погруженной части цилиндра:
Поэтому
Таким образом, второй и третий цилиндры погружены в воду на .
Ответы: 1. . 2. . 3. .
Примечание: для варианта с , как видно из формулы для силы Архимеда, нить полностью вытащит второй и третий цилиндры из воды, рычагу придется наклониться и правой стороной опереться на поверхность. Поскольку цилиндры будут висеть над водой, то в этом случае , и для обоих цилиндров . Такие ответы тоже засчитывались. Если участник для рассчитывал только силу натяжения нити, без вычисления силы Архимеда (то есть без проверки ее положительности), то при правильной записи уравнений в качестве ответа на вопрос 1 должен был получиться . Этот ответ тоже засчитывался.
— балла; — балла; — балла; от до и от до — балла.
— балла; — балла; от до или от до — балла.
— балла; — балла; ответ отличается от , но совпадает с ответом 1.2 — балл.