Робофест 2022, Отбор, 10–11 класс, задача 1
Недеформируемый тонкий прямой стержень массой кг подвешен к недеформируемому горизонтальному потолку на двух отрезках легкой практически нерастяжимой нити (см. рисунок). Длина стержня см, длины нитей см и см. В состоянии равновесия обе нити вертикальны и находятся на расстоянии см друг от друга.
- Найдите отношение величин малых деформаций нитей . Ответ запишите с точностью до целого значения.
К нижнему концу стержню на еще одном небольшом отрезке той же нити подвесили маленький груз.
-
Во сколько раз увеличилась величина деформации нити при массе груза г (по сравнению с ее деформацией в отсутствие груза)? Ответ запишите с точностью до десятых.
-
Во сколько раз увеличится величина деформации нити , если взять более тяжелый груз, с массой г (по сравнению с ее деформацией в отсутствие груза)? Ответ запишите с точностью до сотых.
Возможное решение. В первую очередь изучим геометрию системы: можно отметить, что угол наклона стержня к горизонтали при обеих натянутых нитях определяется соотношением
Далее удобно записать правило моментов относительно верхнего конца стержня (точки подвеса верхней нити):
С учетом того, что плечо силы тяжести
получаем
Условие равновесия сил позволяет найти и другую силу натяжения:
Следовательно,
Каждая из сил натяжения пропорциональна удлинению нити, а коэффициент жесткости обратно пропорционален длине нити (см. вопрос). Значит,
При подвешивании груза к силам, действующим на стержень, добавляется приложенная к его нижнему концу сила, равная силе тяжести этого груза. Так что теперь правило моментов приведет к новому результату:
Важно понимать, что нам необходимо проверить, действительно ли после подвешивания груза обе нити остались натянутыми. Для этого нужно найти и :
то есть первая нить остается натянутой.
Следовательно, сила натяжения нити увеличилась из-за подвешивания груза в
раза. Ясно, что во столько же раз увеличилась и ее деформация.
В случае более тяжелого груза, повторив такие же вычисления, мы бы обнаружили, что
Это означает, что на самом деле первая нить провисает, и предыдущее решение (в котором мы предполагали, что обе нити натянуты) становится неверным. Надо произвести расчет заново, понимая, что теперь стержень с грузом висят только на одной второй нити (первая висит свободно). Поэтому теперь
и сила натяжения нити (и вместе с ней деформация этой нити) по сравнению со случаем, когда груза не было, возросла в
раза.
Ответы: 1. . 2. . 3. .
— балла; — балла.
— баллов; или — балла.
— баллов; — балла.