Квадрат vs круг
Из тонкой непроводящей плоской пластины вырезали пять фигур разной формы и размера. Каждую из них зарядили электрическим зарядом с постоянной, положительной и одинаковой для всех фигур поверхностной плотностью.
Первая фигура представляет собой квадрат со стороной , от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной (см. рис. 1). Модуль напряжённости электрического поля, созданного в точке зарядами на поверхности такой фигуры, равен .
- Чему равно отношение , где — модуль напряжённости электрического поля, созданного в точке второй заряженной фигурой, имеющей форму квадрата со стороной , от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной (рис. 2)? — некоторое положительное число.
- Определите модуль и направление вектора напряжённости электрического поля, созданного в точке третьей заряженной фигурой, представляющей собой квадрат со стороной , от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной (рис. 3). Модуль вектора выразите через величину .
- Определите модуль и направление вектора напряжённости электрического поля, созданного в точке четвёртой заряженной фигурой, имеющей форму четверти кольца (рис. 4), внутренний радиус которого равен , а внешний — . Модуль вектора выразите через .
- Определите модуль и направление вектора напряжённости электрического поля, созданного в точке пятой заряженной фигурой, имеющей форму трапеции (рис. 5), одно основание которой равно , второе — . Модуль вектора выразите через . Углы при большем основании данной трапеции указаны на рисунке.
Точки , , , и находятся в одной плоскости с соответствующей фигурой.
Ответ
Пусть поверхностная плотность заряда всех фигур, упоминаемых ниже, постоянна, одинакова и равна ().
Рассмотрим бесконечно малую заряженную площадку с площадью и зарядом , расположенную на расстоянии от точки , и геометрически ей подобную вторую площадку, заряженную с той же поверхностной плотностью , но расположенную на расстоянии , где — коэффициент подобия. Поскольку , напряжённости электрических полей, созданных этими площадками, равны:
Рассмотрим теперь две заряженные пластины конечного размера, геометрически подобные друг другу с коэффициентом подобия и расположенные так, как показано на рис. 1, где — центр подобия этих пластин (, и т. п.). Разобьём обе пластины на бесконечно малые площадки, причём так, чтобы каждый элемент разбиения второй пластины был подобен соответствующему элементу первой с центром подобия в точке . Поскольку, как было показано выше, напряжённости электрических полей, созданных в точке бесконечно малыми площадками, образующими такую пару, совпадают, то и напряжённости электрических полей, созданных в точке всей первой и всей второй пластиной, тоже будут совпадать (по модулю и по направлению).
В частности, это значит, что напряжённость поля в точке , созданного фигурой, изображённой на рис. 2 из условия задачи, будет также равна .
Из симметрии фигуры следует, что вектор направлен вверх и вправо вдоль этой оси симметрии.
Используя результат пункта 1, получим, что напряжённость электрического поля, созданного в точке каждой из трёх фигур на рис. 2 (зелёной, синей или серой), равна . Отсюда следует, что заряженная фигура, изображённая в условии на рис. 3, создаёт в точке поле с напряжённостью .
Вектор направлен вверх и вправо вдоль оси симметрии фигуры;
Из симметрии фигуры следует, что вектор направлен вверх и вправо вдоль этой оси симметрии.
Для ответа на третий вопрос задачи рассмотрим заряженную пластину, изображённую на рис. 3 (всю окрашенную как-либо область). Обозначим и напряжённости полей, созданных в точке зелёной и синей областью соответственно. Из подобия этих областей следует, что .
Напряжённость электрического поля , созданного всей пластиной в точке , с одной стороны, равна , а с другой стороны, , где — искомая напряжённость поля, созданного фигурой, изображённой в условии на рис. 4. Приравнивая правые части этих соотношений, получим, что
Вектор направлен вверх и вправо вдоль оси симметрии фигуры.
Воспользуемся подходом из предыдущего пункта и рассмотрим заряженную пластину, изображённую на рис. 4 (снова всю окрашенную как-либо область). Зелёная и синяя области, благодаря подобию, создают в точке поле с одинаковой по величине и направлению напряжённостью. Следовательно, напряжённость поля, созданного в точке указанной в условии трапецией, совпадает с напряжённостью поля, созданного в той же точке кольцевым сектором с углом в .
Отсюда, используя симметрию кольцевого сектора, делаем вывод, что вектор напряжённости электрического поля, созданного трапецией в точке , направлен по внешней биссектрисе угла (см. рис. 5).
Кольцевой сектор с внутренним и внешним радиусами, отличающимися в два раза, представляет собой (с точностью до подобия) одну треть от фигуры, изображённой в условии на рис. 4. Используя результат предыдущего пункта, получим (см. рис. 6):
Вектор направлен вдоль внешней биссектрисы угла :