Кольцо
Кольцо радиусом сделано из проволоки с поперечным сечением , удельное сопротивление которой увеличивается от точки до точки по линейному закону , где — известная постоянная, — угол, отсчитываемый от точки по (или против) часовой стрелки, как показано на рисунке.
- Определите сопротивление всей проволоки, из которой изготовлено кольцо.
- Найдите на кольце две точки и , между которыми эквивалентное сопротивление кольца максимально при минимальном расстоянии между и .
- Определите значение этого сопротивления и расстояние между и .
Площадь сечения проволоки известна и постоянна вдоль всего кольца.
Решение.
- Сопротивление всей проволоки не зависит от того, в какой именно точке мы её разрежем: все элементарные участки проволоки соединены друг с другом последовательно. Для упрощения разрежем кольцо в точке , чтобы сначала найти сопротивления его двух симметричных половинок, а затем их сложить.
Поскольку удельное сопротивление проволоки изменяется по линейному закону (от угла или от расстояния от точки ), для вычисления её сопротивления воспользуемся средним значением удельного сопротивления:
Откуда
или
- Подключим контакты к некоторым точкам и кольца. Получившаяся цепь теперь состоит из двух участков — и , соединённых параллельно, и её сопротивление определяется соотношением:
где и — сопротивления соответствующих участков, причём знаменатель этой формулы не зависит от того, в каких точках мы подключаемся к кольцу, и равен сопротивлению всей проволоки.
Формулу можно представить в виде:
Сопротивление кольца между этими точками как функция величины представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и достигает максимума при . Следовательно, сопротивление кольца максимально при , и
- Разделить всю проволоку кольца на два участка с равными сопротивлениями можно бесконечным количеством способов. Например, присоединив контакты к точкам и , мы получим тот же самый результат для . Но по условию расстояние между точками и должно быть минимальным. Для этого на малую дугу между точками и должна приходиться проволока с максимально возможным удельным сопротивлением. Это означает, что точки и должны располагаться симметрично относительно точки .
И сопротивление малых дуг и должно быть равно . Пусть положение точек и определяется углом . Тогда среднее удельное сопротивление участка по малой дуге равно
а его сопротивление
С учётом уравнения для получим:
или
Расстояние между точками и найдём как основание равнобедренного треугольника :
Найдено сопротивление всей проволоки, например, через .
Показано, что точки и должны располагаться симметрично относительно точки .
Получено выражение для сопротивления кольца между точками и .
Найдена величина сопротивления .
Найдено расстояние между и .