Движение в скрещенных полях
В скрещенных электрическом и магнитном полях движется маленькая частица массой с положительным зарядом . Вектор однородного электрического поля с напряжённостью направлен вдоль оси . Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси , перпендикулярной плоскости (см. рисунок), а его величина зависит только от координаты по закону
В начальный момент времени частица расположена в начале координат, а её скорость равна нулю. При дальнейшем движении частица впервые остановилась в момент времени после начала движения. Силы тяжести нет.
Примечание: при малых значениях справедлива формула
- Определите скорость частицы в момент, когда она направлена вдоль оси .
- Определите радиус кривизны траектории частицы в точке с координатой .
- Изобразите траекторию частицы за время движения .
- На каком расстоянии от точки старта окажется частица через время ?
Решение.
Поскольку мощность силы Лоренца всегда равна нулю, кинетическая энергия частицы равна работе силы, действующей на неё со стороны электрического поля. Отсюда:
Вдоль оси на частицу действует только сила Лоренца. Из второго закона Ньютона:
Из условия в момент, когда скорость частицы направлена вдоль оси , найдём соответствующую данному моменту координату частицы :
Откуда:
Найдём радиус кривизны траектории в точке с координатой . Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную направлению скорости частицы:
где — перпендикулярная скорости компонента электрического поля. Для неё имеем:
Подставляя во второй закон Ньютона, находим:
откуда:
При решении второго пункта было получено, что . Это означает, что частица двигалась по полуокружности до тех пор, пока не остановилась.
Обратим внимание, что после остановки движение частицы повторяется — она вновь будет двигаться по окружности того же радиуса, но уже из нового положения, находящегося от начального на расстоянии, равном диаметру окружности . Также обратим внимание, что за половину периода частица проходит половину окружности, поскольку , где — угловой размер пройденной дуги.
Тогда через время координаты частицы равны , и модуль её перемещения составляет:
Или же:
Записан закон сохранения энергии .
Получена скорость .
Записано уравнение для с учетом силы Лоренца.
Получено .
Найдена координата и скорость в момент движения вдоль оси .
Получен постоянный радиус кривизны .
Верно описана форма траектории как последовательность полуокружностей.
Получено .