Весы
В этой задаче вам предлагается изучить работу электронных весов. Принцип их работы, как и у пружинных весов, основан на измерении деформации тела под механической нагрузкой. Деформируемым телом является балка прямоугольного сечения, прикреплённая одним концом к корпусу весов, а другим — к платформе, на которую устанавливается измеряемый груз. Толщина балки . Под нагрузкой балка изгибается. Измерение деформации производится с помощью двух одинаковых тензорезисторов №1 и №2, жёстко прикреплённых на верхнюю и нижнюю части балки соответственно. То есть при деформации балки длина резистора изменяется так же, как длина участка поверхности, на который он приклеен.
Тензорезистор представляет змейку из проводящей фольги, наклеенную на поверхность балки. При деформации балки фольга растягивается или сжимается, за счёт чего её сопротивление соответственно увеличивается или уменьшается. Зависимость сопротивления тензорезистора от относительного удлинения (сжатия) поверхности, на которую он приклеен, задаётся выражением
где — сопротивление при отсутствии деформации, — тензометрический коэффициент. Величина лежит в пределах от до .
Тензорезисторы включены в электрическую цепь с двумя обычными резисторами , источником постоянного напряжения и вольтметром. Сопротивления резисторов равны (сопротивлению тензорезистора при отсутствии деформации).
Когда на платформу весов ставят груз, балка изгибается, при этом верхняя часть балки растягивается, а нижняя сжимается. Некоторая линия внутри балки остаётся недеформируемой (в дальнейшем недеформируемая линия), то есть её длина при изгибе балки остаётся неизменной. Участок балки, к которому приклеены тензорезисторы, можно представить в виде дуги окружности. Радиус кривизны недеформируемой линии в месте крепления тензорезисторов обратно пропорционален массе груза , поставленного на платформу весов:
где — некоторый известный коэффициент. При этом значение радиуса кривизны много больше толщины балки, и изменением толщины балки можно пренебречь.
Массу платформы и балки в рассматриваемой модели учитывать не будем. Вольтметр будем считать идеальным.
Предположим, что недеформируемая линия проходит через середину балки.
- Выразите величину относительной деформации тензорезистора №1 через величины и .
- Выразите величину относительной деформации тензорезистора №2 через величины и .
Зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза с учётом малости деформации балки может быть представлена в виде:
где — целое число, — коэффициент пропорциональности.
- Определите и .
- Теперь предположим, что недеформируемая линия проходит на расстоянии от верхней поверхности балки. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой .
- Весы перенесли в более тёплое помещение, из-за этого они нагрелись. В процессе нагрева весов балка изменила свою длину, её относительная деформация составила (порядка величин , ). Изменением толщины и ширины балки можно пренебречь. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой . Недеформируемая линия проходит посередине балки.
При решении задачи считайте известными величины: , , , , , . Величину сопротивления резисторов считайте неизвестной.
Решение.
Проведём из центра дуги окружности недеформируемой линии два луча к краям резистора №1. Эти два луча отсекут на недеформируемой линии дугу, размер которой будет равен размеру резистора до деформации. Положим угол между лучами равным . Тогда размер резистора в недеформируемом состоянии окажется равным
Размер подложки после деформирования балки составит
Тогда величина относительного удлинения резистора составит
Относительное изменение длины резистора №2 будет таким же по модулю, но отрицательным:
В ненагруженном состоянии балки напряжения на резисторах №1 и №2 одинаковы и равны половине напряжения источника питания. Показания вольтметра в этом случае будут нулевыми. При нагрузке балки сопротивление резистора №1 увеличится на величину
а сопротивление резистора №2 уменьшится на ту же величину. Силы тока через резисторы и , соответственно, равны
Показание вольтметра будет равно разности напряжений на резисторах и составит
С учётом ранее полученного выражения для изменений сопротивлений тензорезисторов:
Таким образом, зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза является прямой пропорциональностью, то есть . Тогда для коэффициента этой зависимости имеем:
Если недеформируемая линия балки будет проходить на некотором расстоянии от верхней поверхности балки, то формулы для относительной деформации подложек резисторов №1 и №2 примут вид:
Соответственно, относительные изменения сопротивлений:
Тогда для показаний вольтметра аналогично предыдущему случаю получим:
откуда
То есть полученный ранее ответ не зависит от места положения недеформируемой линии.
Теперь предположим, что балка ко всему прочему нагрелась. Тогда к относительным изменениям длины подложек резисторов добавятся ещё и удлинения за счёт теплового расширения балки:
Проведя аналогичные вычисления получим, что и в этом случае показания вольтметра останутся прежними:
То есть предложенная схема тензоэлектрического датчика является термостабильной и в целом не чувствительна к деформациям растяжения-сжатия балки.
Получено выражение для в случае среднего положения недеформируемой линии.
Получено выражение для в случае среднего положения недеформируемой линии.
Записано выражение напряжения на резисторе через сопротивление и изменение сопротивления №1 (с учетом разложения до первого порядка малости или без разложения) или записано выражение напряжения на верхнем резисторе через сопротивление и изменение сопротивления №1 (с учетом разложения до первого порядка малости или без разложения) или для цепи верно записаны первые правила Кирхгофа в количестве достаточном для нахождения напряжения на вольтметре.
Записано выражение напряжения на резисторе через сопротивление и изменение сопротивления №2 (с учетом разложения до первого порядка малости или без разложения) или записано выражение напряжения на нижнем резисторе через сопротивление и изменение сопротивления №1 (с учетом разложения до первого порядка малости или без разложения) или для цепи верно записаны вторые правила Кирхгофа в количестве достаточном для нахождения напряжения на вольтметре или верно расставлены потенциалы и записаны законы Ома в количестве достаточном для нахождения напряжения на вольтметре.
Записано выражение для напряжения на вольтметре через изменение сопротивлений тензорезисторов (с учетом разложения до первого порядка малости или без разложения). Примечание: если получено верное выражение, баллы за два предыдущих пункта ставятся автоматически.
Получена формула .
Явно найдена степень зависимости показаний вольтметра от массы поставленного на платформу весов груза. Примечание: балл ставится только при явном указании значения коэффициента. Просто записи формулы из пункта 3.4 недостаточно.
Явно получено выражение для коэффициента пропорциональности . Примечание: баллы ставятся только при явном указании значения коэффициента. Просто записи формулы из пункта 3.4 недостаточно.
Указано, что показания вольтметра не изменятся. (Даже при отсутствии обоснований.)
Предыдущее утверждение обосновано.
Указано, что показания вольтметра не изменятся. (Даже при отсутствии обоснований.)
Предыдущее утверждение обосновано.