Звезда и треугольник
Фрагмент электрической цепи состоит из шести резисторов, соединённых так, как показано на рисунке.
Из узла всегда вытекает ток постоянной силы . Из узла вытекает ток силой , которую можно регулировать как по модулю, так и по направлению (при его направление совпадает с изображённым). Эту силу тока будем называть регулируемой. Втекающий в третий узел ток определяется из закона сохранения электрического заряда.
-
Определите изменение силы тока через резистор между узлами и , если регулируемый ток увеличить на . Ответ выразите через .
-
Определите изменение силы тока через резистор между узлами и , если регулируемый ток увеличить на . Ответ выразите через .
-
При каком значении регулируемой силы тока ток в одном из резисторов становится равным нулю? Укажите этот резистор. Ответ выразите через .
-
При каком значении регулируемой силы тока суммарная тепловая мощность, выделяющаяся на резисторах, будет минимальна? Чему равна эта минимальная мощность ? Ответы выразите через и .
Способ 1. Воспользуемся методом наложения токов. Представим два независимых источника тока: один создаёт ток силой , другой регулируемый ток (см. рисунок 1).
При расстановке токов учтём, что часть цепи для каждого источника представляет собой сбалансированный мост.
Способ 2. Введём токи и , далее, с учётом первого и второго правил Кирхгофа выразим через них токи во всех остальных участках разветвлённой цепи (см. рисунок 2).
Запишем первое правило Кирхгофа для узлов и и получим систему уравнений: , . Отсюда , . Заметим, что ток никак не влияет на силу тока через верхний резистор, следовательно: . Изменение силы тока через нижний резистор . Единственный резистор, через который токи от двух источников направлены противоположно, это резистор между узлами и . Условие обнуления тока: . Таким образом, .
Ответ на четвёртый вопрос можно получить разными способами.
Способ 1. Мощность можно рассчитать как сумму мощностей воображаемых источников токов и . Напряжение между узлами и : , а между узлами и : . Тогда суммарная тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, равна: .
Способ 2. Тот же результат можно получить как сумму тепловых мощностей на каждом резисторе. Минимум выражения (вершина параболы) достигается при: . Соответствующая минимальная мощность: .
Метод 1. В решении корректно используется метод наложения.
Метод 1. Предложены две схемы, которые предлагается наложить друг на друга.
Метод 1. В предложенных схемах верно расставлены токи через все резисторы (по за каждую схему).
Метод 2. При решении правильно использовано первое правило Кирхгофа.
Метод 2. При решении правильно использовано второе правило Кирхгофа.
Метод 2. Найдены силы тока в каждом из шести резисторов, выраженные через введённые неизвестные токи.
Метод 2. Записана система уравнений, позволяющая верно выразить введённые токи через и/или .
Верно определены значения сил токов, выраженные через и , в каждом из шести резисторов исходной цепи.
Найдено, что .
Найдено, что .
Указано, что только через резистор между узлами и ток может быть равным нулю.
Получено значение регулируемой силы тока , при которой происходит обнуление силы тока через резистор между узлами и .
Предложен верный способ расчёта мощности при произвольных и .
Получено выражение .
Найдено значение минимальной мощности: .