Полный улёт
В однородном магнитном поле в отсутствие силы тяжести движется заряженная частица. На рисунке представлен график зависимости модуля перемещения этой частицы относительно точки, в которой находилась эта частица в момент времени , от времени её дальнейшего движения .
1. Определите модуль скорости , с которой движется частица.
2. Определите угол между вектором скорости частицы в момент и вектором индукции магнитного поля.
3. Определите индукцию магнитного поля, если заряд частицы равен , а её масса .
4. Найдите расстояние между двумя положениями частицы, которые соответствуют точкам и на графике.
Решение.
Постоянное магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей, и поэтому, если пренебречь излучением, модуль скорости частицы не изменяется. Поэтому величина скорости частицы равна величине скорости при .
Отметим, что при конечных ускорениях всегда существует такой «малый» интервал времени после начала движения, на котором скорость удаления частицы от начального положения примерно равна начальной скорости, то есть можно считать, что . Поэтому для нахождения скорости частицы проведём касательную к графику функции в начале координат. Величина скорости при этом численно равна тангенсу угла наклона этой прямой:
Направим ось вдоль вектора индукции магнитного поля, выбирая для простоты начало координат так, чтобы при . Обозначим проекцию вектора скорости частицы на ось , а — величину перпендикулярной этой оси составляющей. Так как сила Лоренца, действующая на частицу, не имеет составляющей вдоль оси ,
В сечении, перпендикулярном оси , движение частицы происходит по окружности с постоянной скоростью . Радиус этой окружности равен
где — модуль вектора магнитной индукции, а время одного оборота
Таким образом, траектория частицы представляет собой винтовую линию с шагом и радиусом
Выбирая оставшиеся оси координат максимально удобным способом, можно записать:
Учитывая, что в момент частица находилась в точке с координатами , , получим формулу зависимости модуля её перемещения от времени:
Возьмём теперь выражение для и поделим его на :
Второе слагаемое в подкоренном выражении при любом не может быть меньше нуля, следовательно . Это значит, что прямая, идущая в координатах из начала, имеющая общие точки с приведённым в условии графиком и обладающая наименьшим угловым коэффициентом, является прямой .
Соответственно, для того чтобы определить , проведём касательную из начала координат к нижней части графика. Точки касания соответствуют ситуации, когда частица находится на прямой, проходящей через начальную точку и параллельной линиям магнитного поля. Тангенс наклона такой прямой численно равен :
Отсюда находим:
следовательно или .
Точки касания нижней прямой располагаются через равные промежутки времени, равные времени прохода частицей одного витка винтовой линии. Для увеличения точности возьмём крайнюю точку касания и определим значение :
Отсюда получим:
Между положениями и прошло время, равное
За это время частица сместилась вдоль линий магнитного поля на расстояние
В проекции на перпендикулярную магнитному полю плоскость частица движется по окружности с радиусом
Её смещение в этой плоскости равно
Отсюда получим значение расстояния :
Указано, что модуль скорости частицы не изменяется, поэтому можно искать величину начальной скорости.
Указано, что начальную скорость можно определить по наклону касательной к графику в начальной точке.
Получено значение скорости в интервале –.
Попадание в интервал значений скорости –.
Попадание в интервал значений скорости –.
Указано, что частица движется вдоль поля с постоянной скоростью.
Указано, что в плоскости, перпендикулярной полю, частица движется по окружности.
Записана формула для периода или угловой скорости вращения по этой окружности.
Получена правильная формула для зависимости , представленной на графике.
Указано, что касательная к графику, идущая из начала координат с наименьшим угловым коэффициентом, является прямой .
Обосновано, что указанная касательная является прямой .
Найдено значение в диапазоне –.
Получено значение угла в одном из диапазонов – или –.
Указано, что точки нижней касательной к графику должны соответствовать моментам времени, кратным периоду вращения.
Найден период вращения в интервале –.
Попадание в интервал –.
Найдена величина индукции магнитного поля в интервале –.
Найдено расстояние между проекциями точек и на направление магнитного поля в интервале –.
Получена правильная формула для расчёта расстояния между проекциями точек и на плоскость, перпендикулярную полю.
Найдено расстояние между проекциями точек и на плоскость, перпендикулярную полю, в интервале –.
Найдено в интервале –.
Попадание в интервал –.