Заряд на резинке
На длинную закреплённую гладкую спицу насажено лёгкое маленькое колечко, к которому прикреплён лёгкий резиновый шнур. В нерастянутом состоянии шнура его длина равна , коэффициент жёсткости равен . К другому его концу прикреплён точечный положительный заряд массы . Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости рисунка.
В начальный момент времени расстояние от заряда до спицы равно , а его скорость направлена перпендикулярно спице от неё и равна .
-
Определите траекторию заряда.
-
Определите дрейфовую скорость заряда.
Примечания:
-
На заряд действуют силы только со стороны шнура и магнитного поля.
-
Заданные по условию величины связаны соотношением .
-
Под дрейфовой скоростью понимается модуль вектора средней скорости за время .
Пусть ось горизонтальна и направлена от спицы, ось направлена вверх вдоль спицы. Начало координат находится в точке начального положения заряда. Запишем проекции второго закона Ньютона:
,
.
Преобразуем полученные уравнения:
, .
, .
Способ 1.
Продифференцируем по времени первое уравнение системы. Тогда
,
.
Обозначим . Тогда
.
Откуда
.
Начальные условия: , . Таким образом,
, ,
, .
Заметим, что
.
То есть уравнение траектории при натянутой резинке представляет собой эллипс с центром
,
большой полуосью
,
малой полуосью
,
где и . Однако при недеформированном шнуре, то есть когда координата будет меньше , заряд будет двигаться по дуге окружности радиуса .
Способ 2.
Из получим:
.
С учётом того, что в начале движения , , и суммируя малые изменения этих величин, получаем, что . Сила Лоренца не совершает работы, и, согласно закону сохранения энергии:
.
Откуда:
, где .
Выразим:
.
Откуда:
,
где и .
Суммируя малые изменения этих величин, получим:
.
Откуда:
.
Нетрудно заметить, что это уравнение эллипса. Координаты центра эллипса , его большая полуось равна , а малая . Это уравнение описывает траекторию вплоть до возвращения длины резинки к исходной. Далее заряд попадает в область, где резинка провисает, и он движется по окружности радиуса до возвращения длины резинки к исходной, после чего резинка натягивается и движение повторяется.
Способ 3.
Из второго уравнения системы получим:
.
С учётом того, что в начале движения , , и суммируя малые изменения этих величин, получаем, что . Подставим это в первое уравнение системы:
,
.
Обозначим .
.
Из начальных условий: , .
.
Подставим в выражение для :
.
Интегрируя, получаем:
.
Заметим, что это снова уравнение эллипса с теми же параметрами. Однако при недеформированном шнуре, то есть когда координата будет меньше , заряд будет двигаться по окружности радиуса .
При положительном удлинении шнура траектория является частью эллипса с большой и малой полуосями:
, .
При ненатянутом шнуре траектория является частью окружности с радиусом . В целом траектория состоит из последовательно чередующихся половинок эллипса и окружности, которые без излома и без разрыва переходят друг в друга при .
Определим период движения заряда:
.
Тогда дрейфовая скорость
.
Записаны проекции второго закона Ньютона в виде, например: , , или , .
Метод 1. Получено выражение или .
Метод 1. При определении постоянных интегрирования использованы начальные условия , , или , .
Метод 1. Получено выражение .
Метод 1. Получено выражение .
Метод 1. Сделан вывод, что записанные выше уравнения задают эллиптическую траекторию в параметрическом виде.
Метод 2. Получено выражение .
Метод 2. Записан закон сохранения энергии: .
Метод 2. Получено выражение .
Метод 2. Получено выражение .
Метод 2. Получено уравнение эллипса: .
При отрицательном удлинении шнура траектория является окружностью с радиусом .
Получен верный период движения заряда: .
Дрейфовая скорость записана как .
Получено итоговое выражение для дрейфовой скорости: .