Цилиндр и нелинейная плотность заряда

Решение.

Цилиндр можно разделить на тонкие параллельные основанию кольца, напряженность каждого из которых будет направлена в точке вниз, а в точке вверх вдоль оси цилиндра — в силу осевой симметрии в распределении заряда. Соответственно сила, действующая на отрицательный заряд в точке , направлена так же, как и сила, действующая на положительный заряд в точке , — вниз вдоль оси цилиндра, или против оси на рисунке. Точно так же — противоположно оси — направлена и суммарная сила, действующая на диполь.

Пусть — величина напряженности поля цилиндра в точке , а — величина напряженности в точке . Тогда величина силы, действующей на диполь,

Наложим на наш цилиндр еще один такой же, с поверхностной плотностью заряда, симметричной исходному цилиндру:

В результате сложения получится цилиндр, равномерно заряженный по поверхности с плотностью заряда :

При этом по принципу суперпозиции в центре каждого из оснований будет одинаковая по величине напряженность, равная нужной нам для вычисления силы величине

Поле в центре основания однородно заряженного цилиндра определим через скорость изменения потенциала по формуле:

Заметим, что, если сдвинуть точку вверх на , то это равносильно смещению цилиндра, то есть исчезновению вверху кольца с зарядом (обозначено на рисунке пунктирной линией) и прибавлению такого же кольца внизу. Разность потенциалов двух выделенных колец равна

Таким образом,

и величина силы

Участники, знакомые с интегрированием, могут вычислить непосредственно из принципа суперпозиции, складывая напряженности отдельных колец: