Ломоносов 2021, 10-11 класс, задача 2
Колебательная система состоит из груза массой , лежащего на гладкой горизонтальной плоскости, невесомого гладкого блока, двух невесомых, нерастяжимых нитей и трех невесомых пружин жесткостью , и , соответственно, соединенных так, как показано на рисунке. Центр масс груза лежит на одной горизонтали с прикрепленной к нему нитью и осью пружины . В положении равновесия все пружины растянуты. Считая, что нити все время остаются натянутыми, определите круговую частоту малых гармонических колебаний груза. Ответ приведите в , округлив до целых.
Решение. Пусть растяжения пружин в положении равновесия равны , и , соответственно. Тогда сила натяжения пружины и правой нити, прикрепленной к грузу, равна , а сила натяжения нити, переброшенной через блок, равна , т.к. блок гладкий. Из условия невесомости блока следует, что , а потому
и
При смещении груза вправо на расстояние первая пружина сократится на , а вторая и третья удлинятся на и , соответственно, причем
(т.к. нити нерастяжимы) и
(т.к. пружины невесомы). Отсюда находим, что
Изменение потенциальной системы при этом будет
Используя записанные выше соотношения между и , нетрудно убедиться в том, что выражение в круглых скобках обращается в нуль. Кроме того,
и
Следовательно,
Обозначив через скорость груза в положении равновесия, по закону сохранения механической энергии имеем
Поскольку амплитудное значение скорости связано с амплитудой смещения соотношением , искомая частота
Ответ. .
Получен верный ответ
Нет верного ответа