Ломоносов 2025, 10 класс, задача 2

Решение.

Взаимодействие тел в момент натяжения нити происходит по законам упругого удара. Скорость шара в начале этого взаимодействия определяется из известного соотношения для равнопеременного движения с начальной скоростью :

Скорость отсюда равна, очевидно,

Для абсолютно упругого удара из законов сохранения импульса и кинетической энергии следуют равенства:

где и - скорости шара и груза после взаимодействия. Решая уравнения (2) и (3), получаем для этих скоростей результаты и . Второе, формально существующее решение системы уравнений (2) и (3), соответствует отсутствию соударения шаров - больший шар не меняет скорости (), а меньший так и остаётся в покое ().

Если тела встречаются на расстоянии от точки бросания спустя время после начала движения шара, то

где - время движения шара до взаимодействия, - время сближения шара и груза после него. При этом для равнопеременного движения шара из точки бросания с начальной скоростью до момента взаимодействия можно записать:

Закон движения шара с начальной скоростью после взаимодействия до встречи с грузом:

Закон движения груза до момента встречи с шаром:

Используя равенства (5) и (1), и избавляясь от иррациональности в знаменателе, для времени получим:

А приравнивая правые части равенств (6) и (7), и используя значения скоростей и , находим и время :

В итоге, складывая эти результаты, окончательно получаем ответ задачи:

Ответ. .