Инженерная олимпиада 2025, 9 класс, задача 2
Дифференциальный блок состоит из трех скрепленных блоков радиусов , и , насаженных на одну и ту же ось. На меньший и средний блоки в разных направлениях намотана одна и та же веревка, которая охватывает еще один блок, к оси которого прикреплен груз (см. рисунок).
На самый большой блок намотана веревка, с помощью которой поднимают груз. Какой выигрыш в силе обеспечивает такой блок, т.е. чему равно отношение силы , с помощью которой можно медленно поднимать груз массой , к силе тяжести груза? Веревку какой длины нужно вытянуть, чтобы поднять груз на высоту ? Массой веревки и блока, а также трением в оси блока пренебречь.
Чтобы груз медленно поднимался, сила натяжения веревки, охватывающей подвижный блок, должна быть равна половине силы тяжести груза. Поэтому на самый маленький и средний блоки дифференциального блока действуют силы натяжения и .
Это значит, что чтобы дифференциальный блок вращался по часовой стрелке и поднимал груз, момент силы относительно центра дифференциального блока должен быть равен разности моментов сил натяжения, действующих на средний и малый блоки
Или
Таким образом, предлагаемая конструкция дает шестикратный выигрыш в силе.
Найдем теперь, сколько мы проиграем в расстоянии. Пусть сила вытянула кусочек веревки длиной . Тогда дифференциальный блок повернется на угол
Это значит, что с меньшего блока смотается кусочек веревки длиной , на средний блок намотается кусочек веревки длиной . Т.е. длина веревки, охватывающей подвижный блок, уменьшится на величину , и, следовательно, подвижный блок поднимется на величину
Т.е. блок дает шестикратный проигрыш в расстоянии, как и должно быть в соответствии с золотым правилом механики. Это значит, что для подъема груза на высоту нужно вытащить кусок веревки длиной
Комментарий: Если участник написал, что поскольку блоки невесомы, нить нерастяжима, и нет трения, то во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии (золотое правило механики), и на основе этого написал ответ, пункты 4 и 5 следует засчитать.
Правильная сила натяжения нижней нити
Правильное условие медленного вращения дифференциального блока по часовой стрелке
Правильно найден выигрыш в силе, который дает рассмотренный дифференциальный блок
Правильное рассмотрение наматываемых и освобождаемых участков веревки при вращении блока по часовой стрелке
Правильный ответ для длины веревки, которую необходимо вытянуть для подыма груза на высоту