Ломоносов 2024, 11 класс, задача 3

Решение. Известно, что КПД тепловой машины равен , где - работа, совершенная газом за цикл, - полученное газом за цикл количество теплоты.

Учитывая, что изменение внутренней энергии идеального газа за цикл равно нулю, формулу для КПД тепловой машины можно переписать в виде:

Для данного цикла - модуль количества теплоты, отданной газом на участке , а - количество теплоты, полученной газом на участках и , соответственно. Так как участок - изотерма, то - работе газа на участке .

Таким образом, КПД рассматриваемой тепловой машины имеет вид:

Получим выражения для входящих в формулу величин и . Для этого воспользуемся первым началом термодинамики.

Изменение внутренней энергии газа на участке равно:

где - универсальная газовая постоянная. Работа газа на этом участке равна:

Здесь было использовано соотношение , представляющее собой уравнение процесса , из которого следует, что , и уравнение состояния идеального газа. Таким образом:

Модуль изменения внутренней энергии газа на участке равен:

а модуль работы газа на этом участке равен:

Здесь учтено, что процесс - изобара. Таким образом:

Найдем соотношение между температурами и . Пусть температура газа в состоянии равна . Если давление газа на участке изменяется в раз, т.е. , то и в соответствии с уравнением процесса . Тогда получим:

Откуда следует, что . Таким образом, окончательно имеем:

Итак, для КПД цикла получаем следующее выражение:

Из последнего выражения найдем :

Используя уравнение процесса , получим . Поскольку и , окончательно получаем .

Ответ. .