Ломоносов 2024, 7-9 класс, задача 5
На рисунке представлена схема электрической цепи, состоящей из пяти одинаковых резисторов с сопротивлениями , и двух плавких предохранителей и . На клеммы и подано напряжение, возрастающее от времени по закону , где . Предохранители рассчитаны на номинальный ток : при токе, меньшем , сопротивление предохранителя пренебрежимо мало, а при большем или равном становится бесконечно большим. Определите, через какое время перегорят предохранители в этой цепи.
Ответ
Решение.
В начальный момент времени напряжение между точками и равно нулю. Поэтому токи, протекающие через элементы цепи, в том числе предохранители, заведомо меньше . Тогда, поскольку сопротивление предохранителей пренебрежимо мало, через сопротивления и , подключенные параллельно к , токи не протекают. Схема, эквивалентная исходной, представлена на рисунке 1.
Общее сопротивление участка равно . При этом ток , протекающий через предохранитель , будет определяться выражением:
Распределение токов в системе показано на рисунке 2.
Ток достигает номинального значения на в момент времени:
При этом предохранитель перегорает, и эквивалентная схема примет вид, показанный на рисунке 3.
Общее сопротивление участка в данном случае будет равно:
Ток, протекающий через эквивалентное общее сопротивление данной схемы:
где - время, отсчитываемое от момента перегорания .
В силу симметрии схемы
Тогда ток , протекающий через , будет равен:
Ток через станет равным номинальному значению спустя время после перегорания :
Общее время работы предохранителя :
Ответ. ; .