Ломоносов 2023, 10-11 класс, задача 5
Оптическая система состоит из четырёх одинаковых тонких собирающих линз диаметром см, расположенных как показано на рисунке. Оптические оси всех линз находятся в одной плоскости и пересекаются в точке , которая совпадает с фокусом каждой линзы. В центр системы (точка ) помещают источник света сферической формы. Определите минимальный радиус источника света , при котором такая система будет излучать свет по всем направлениям в плоскости рисунка? Ответ приведите в сантиметрах, округлив до целых.
Ответ
Решение.
Как сказано в условии задачи, точка является фокусом линз. Поэтому, если поместить в неё точечный источник света, то, как видно из рисунка, свет не будет проходить в области, закрашенные серым цветом. Однако если вместо точечного источника взять источник сферической формы, то при достаточных его размерах свет будет попадать и в эти области, распространяясь по всем возможным направлениям.
Поскольку система симметричная, достаточно рассмотреть ход луча - например, , идущего от одной из крайних точек сферического источника света (см. рисунок). Чтобы оптическая система могла излучать свет по всем направлениям в плоскости рисунка достаточно, чтобы этот луч выходил под углом к плоскости расположения правой линзы. Тогда продолжение этого луча пройдёт через точку . Из подобия треугольников и можно записать:
где , . Получим:
Длину отрезка можно найти, используя формулу тонкой линзы (имея в виду виртуальный источник, расположенный в точке ):
Поскольку , получим: . Длину отрезка найдём, используя теорему Пифагора:
Учитывая, что , получим
Подставляем выражения для и в полученное ранее соотношение:
Откуда получаем ответ задачи:
Ответ. см.