Ломоносов 2023, 10-11 класс, задача 5
Оптическая система состоит из четырёх одинаковых тонких собирающих линз диаметром см, расположенных как показано на рисунке. Оптические оси всех линз находятся в одной плоскости и пересекаются в точке , которая совпадает с фокусом каждой линзы. В центр системы (точка ) помещают источник света сферической формы. Определите минимальный радиус источника света , при котором такая система будет излучать свет по всем направлениям в плоскости рисунка? Ответ приведите в сантиметрах, округлив до целых.
Решение.
Как сказано в условии задачи, точка является фокусом линз. Поэтому, если поместить в неё точечный источник света, то, как видно из рисунка, свет не будет проходить в области, закрашенные серым цветом. Однако если вместо точечного источника взять источник сферической формы, то при достаточных его размерах свет будет попадать и в эти области, распространяясь по всем возможным направлениям.
Поскольку система симметричная, достаточно рассмотреть ход луча - например, , идущего от одной из крайних точек сферического источника света (см. рисунок). Чтобы оптическая система могла излучать свет по всем направлениям в плоскости рисунка достаточно, чтобы этот луч выходил под углом к плоскости расположения правой линзы. Тогда продолжение этого луча пройдёт через точку . Из подобия треугольников и можно записать:
где , . Получим:
Длину отрезка можно найти, используя формулу тонкой линзы (имея в виду виртуальный источник, расположенный в точке ):
Поскольку , получим: . Длину отрезка найдём, используя теорему Пифагора:
Учитывая, что , получим
Подставляем выражения для и в полученное ранее соотношение:
Откуда получаем ответ задачи:
Ответ. см.
Приступил к решению задачи
Правильно изображена оптическая схема с указанием хода лучей
Правильно записана формула тонкой линзы
Правильно записаны геометрические соотношения, необходимые для нахождения минимального радиуса источника
Получено верное выражение для минимального радиуса источника
Получено верное численное значение минимального радиуса источника