Ломоносов 2023, 10-11 класс, задача 1

Решение. Поскольку влияние воздуха мало, движение капли после отрыва от колеса автомобиля происходит под действием только силы тяжести. В неподвижной системе отсчета скорость капли при отрыве от колеса в точке равна скорости этой точки на поверхности колеса (см. рисунок).

По закону сложения скоростей , где - скорость точки относительно поступательно движущейся системы отсчета, связанной с центром колеса, - скорость автомобиля. Из условия отсутствия проскальзывания колес следует, что .

Расположим координатную плоскость в плоскости одного из задних колес автомобиля, идущего впереди. Начало координат совместим с мгновенным положением центра колеса, ось направим горизонтально в направлении движения машины, а ось - вертикально вверх (рис.). Очевидно, что движение капли будет происходить в плоскости . Пусть вектор образует с горизонталью некоторый угол . Как следует из рисунка, проекции на оси координат скорости капли, отрывающейся от колеса в точке , равны:

Траектория капли изображена на рис. штриховой линией. Пренебрегая высотой точки над поверхностью шоссе по сравнению с высотой подъема капли, получаем время полета капли:

Дальность полета капли составляет величину:

Перемещение идущего сзади автомобиля за время полета капли равно:

Следовательно, для того чтобы рассматриваемая капля не попала на этот автомобиль, расстояние между автомобилями должно быть не менее

Максимум этого выражения достигается при и составляет . С другой стороны, предельное значение угла равно , так как капли, оторвавшиеся от колеса выше точки, в которой касательная к окружности колеса составляет с горизонталью угол , будут задержаны брызговиком и колесной аркой, и на идущий сзади автомобиль не попадут. Таким образом, минимальное расстояние между автомобилями, при котором капли воды, поднятые в воздух колесами первого автомобиля, не будут попадать на второй автомобиль, определяется соотношением

Ответ. .