Росатом 2024, Отбор, 7 класс, задача 5
Вода течет по двум соединяющимся трубкам с площадями сечений и со скоростями и , и втекает в одну выходную трубу. Скорость воды в выходной трубе - .
Найти площадь поперечного сечения выходной трубы .
Решение.
Рассмотрим воду, расположенную между двумя сечениями труб, которые показаны на рисунке пунктирными линиями. Так как у воды не меняется плотность, и не меняется объем выделенного участка воды, то масса воды, находящейся между выделенными сечениями, не меняется с течением времени, несмотря на то, что вода течет. А это значит, что массы воды, втекающей в выделенный участок за некоторый интервал времени, и вытекающей из него за тот же интервал, одинаковы.
Найдем эти массы и приравняем их друг другу.
Рассмотрим трубку, площадью сечения , по которой течет жидкость со скоростью (см. рисунок).
Так как скорость всех элементов жидкости , за интервал времени сечение трубы (показано пунктиром на рисунке) пересекут те элементы жидкости, которые находятся на расстоянии, меньшем чем (выделены более темным на рисунке). Их масса равна произведению плотности жидкости на объем этих элементов жидкости :
Вернемся теперь к задаче. Так как в участок воды, расположенный между двумя пунктирными прямыми на первом рисунке, втекает вода по двум трубкам площадью сечения и со скоростями и соответственно, в него за некоторый интервал времени втекает масса воды
а вытекает по одной трубке масса воды
где - искомая площадь выходной трубки. Приравнивая эти массы, находим
Правильная идея решения - масса воды, подходящая к разветвлению трубы, равна массе воды уходящей от разветвления (баланс массы)
Правильно найдена масса воды, пересекающая за некоторый интервал времени сечение трубы
Правильное уравнение баланса массы
Правильный ответ