Покори Воробьевы горы 2023, Отбор, 7-9 класс, вопрос 3
( баллов):
Однородная тонкая доска длины лежит неподвижно, опираясь «самым краешком» на борт бассейна. Другой ее конец находится в воде, уровень которой в бассейне на ниже этого борта. Плотность дерева, из которого изготовлена доска, . Плотность воды в бассейне . При какой минимальной величине коэффициента трения между краем бассейна и доской такое возможно? Ответ запишите с точностью до сотых.
Ответ: .
Комментарий: На неподвижную доску действуют сила тяжести, сила Архимеда и две силы реакции - сила нормальной реакции борта бассейна и сила трения об этот борт. Так как силы тяжести и Архимеда направлены вертикально, то равнодействующая сил и тоже вертикальна, и поэтому в положении равновесия
где - угол наклона доски к горизонту. С другой стороны, величина силы трения покоя должна удовлетворять требованию , и поэтому возникает и требование к коэффициенту трения , то есть . Запишем теперь для доски условие равновесия моментов сил относительно точки опоры
Величина силы тяжести для доски с сечением равна , и ее плечо . Величина силы Архимеда
- длина погруженной в воду части доски), а ее плечо
Как видно, уравнение моментов позволяет найти :
В данном варианте , . Таким образом,
В этом ответе, в соответствии со смыслом искомой величины, считалось правильным не только округление до сотых по стандартным правилам, но и округление «вверх». Например, в данном варианте правильным также считался ответ .