Гонка по кругу
Трое школьников решили пробежать по круговой дорожке на стадионе. Сначала стартовал самый медленный участник, через некоторое ненулевое время стартовал средний (по скорости) участник, и после него через такое же время стартовал самый быстрый. Они договорились, что самый медленный участник пробежит целый круг, а двое других останавливаются на финише, но не раньше самого медленного. В итоге оказалось, что скорость среднего была в два раза больше скорости медленного, и в два раза меньше скорости быстрого, и при этом быстрый и медленный финишировали одновременно. После финиша они подсчитали все произошедшие обгоны (одновременное прибытие на финиш в момент окончательной остановки не считается обгоном) и обнаружили, что их число оказалось максимально возможным (для данного соотношения скоростей и очередности прибытия на финиш). Сколько же было обгонов в этом забеге? Какую часть круга пробежал в этом забеге средний участник после финиша быстрого и медленного?
Возможное решение:
При фиксированном соотношении скоростей и очередности прибытия участников гонки на финиш (медленный и быстрый одновременно, а средний позже) разные возможные варианты происходящего отличались «временем задержки» среднего относительно медленного (время задержки быстрого относительно среднего такое же). Поэтому начнем с того, что выясним, чему может равняться это время. Пусть — время, за которое пробегал круг медленный участник. Ясно, что быстрый пробегал этот круг за время . Поскольку финишировали они одновременно, а быстрый стартовал на позже, то
где — целое число (это число полных кругов, которые быстрый участник успел пробежать до финиша). Это число точно не меньше (участник добежал до финиша) и меньше (на и более круга этот участник потратил бы время более , так как задержка по условию была ненулевой).
Так что возможные варианты — это . Для каждого случая мы можем определить соответствующее , так что есть три варианта, отвечающие , и . Для выбора варианта, удовлетворяющего последнему условию (то, что число обгонов наибольшее), удобно воспользоваться графическим методом, то есть вести на дорожке координату , отсчитываемую от старта, и построить графики зависимости координат участников от времени. Это позволит подсчитать число обгонов. Например, для получаем следующий график (синяя линия — график для медленного участника, зеленая — среднего, красная — быстрого). Фиолетовыми «кружками» обозначены моменты обгонов, красным — момент финиша быстрого и медленного участников. Как видно, здесь всего происходит обгонов.
Аналогичные графики для двух других вариантов показывают, что для них число обгонов меньше (в принципе, интуитивно понятно, что увеличение времени задержки приведет к уменьшению числа обгонов).
Итак, в этой гонке всего произошло обгонов. Из графика также видно, что в момент финиша быстрого и медленного участников координата среднего составляла от длины круга. Значит, он после этого финиша пробежал часть круга.
Ответы: В этой гонке всего произошло обгонов. После финиша быстрого и медленного участников средний пробежал часть круга.
Правильно определено количество обгонов.
Составлено правильное уравнение на , следующее из одновременности финиша быстрого и медленного участников
Правильно определены все возможные значения
Записаны уравнения или построены графики, позволяющие определить число обгонов для каждого варианта
Правильно выбрано значение , для которого число обгонов максимально
Найдено, что число обгонов равно
Правильно определена часть круга, которую пробежал средний участник после финиша быстрого и медленного
Составлено необходимое уравнение для определения искомой величины или график построен так, что ее можно определить
Дан правильный ответ