График полета

Возможное решение: Закон движения шарика удобно записать в системе координат с горизонтальной осью и вертикальной осью , совместив начало координат с точкой броска:

Скорость изменения величины перемещения на нашем графике можно связать с тангенсом угла наклона касательной к этому графику, и при этом можно обратить внимание, что на графике нельзя обнаружить участки, на которых она отрицательна. Только в интервале усл.ед. есть участок, на котором эта скорость очень близка к нулю, а в другие моменты времени она явно положительна. Примем, что усл.ед. Запишем

Здесь введена безразмерная переменная , пропорциональная . Как видно, существование моментов времени, когда , связано с существованием решений уравнения

дискриминант которого зависит только от величины угла . Наш график с хорошей точностью отвечает ситуации, когда у этого уравнения только один корень, то есть

Проверим точность этого результата. Для этого заметим, что для этого угла соответствует

Таким образом,

По графику можно определить и модуль перемещения к моменту . При внимательном отношении ее можно оценить как . Поскольку

то можно определить (естественно, пока в усл. ед.) и начальную скорость:

В этом вычислении малые относительные ошибки величин () и () при вычислении их отношения складываются.

С другой стороны, эту же величину можно тоже найти из графика, построив касательную к графику в точке . Тогда получаем оценку усл. ед. (это самая неточная из извлекаемых из графика величин, так как провести касательную к графику на краю интервала однозначно довольно затруднительно). Как видно, совпадение очень хорошее, так что ошибка в определении угла не превышает . Итак, вполне разумная оценка точности .

С учетом дополнительной информации о том, что для времени усл.ед. с и значения , заданное с очень высокой точностью (если считать, что ошибка не превышает половины единицы последнего разряда приведенной величины, то это соответствует относительной ошибке порядка ), находим: с и

(здесь мы ориентировались на наибольшую относительную ошибку). Искомая величина перемещения

Здесь «для надежности» мы посчитали, что относительная ошибка в определении квадрата скорости равна удвоенной относительной ошибке в определении самой скорости. В реальности, имея в распоряжении график и анализируя значения перемещения не в одной точке, а для всего заданного интервала значений времени, можно добиться заметно лучшей точности в определении этой величины: полный анализ позволяет установить, что приведенный график соответствует , м/с и тогда м. Но для полного зачета результата участникам достаточно и более «грубого» результата (см. критерии проверки). Отметим также, что усл.ед. расстояния на нашем графике примерно соответствует

Ответы: , м/с, м.