Росатом 2023, Отбор, 7 класс, задача 3
Имеется сплошной куб с ребром и массой . От куба отрезают тонкие слои толщиной , параллельные каждой грани. Последовательность граней, от которых отрезают слои - ----- (см. рисунок).
Чему равна масса пятого отрезанного слоя? Чему равна масса оставшейся после всех отрезов части куба?
Ответ
Решение.
Рассмотрим последовательные отрезания слоев от граней.
1. Первый отрезанный слой имеет размеры . Поэтому грани , , и становятся уже на . Грань имеет те же размеры.
2. Поэтому второй отрезанный слой имеет размеры . Поэтому грани и имеют размеры , грани , и - .
3. Третий отрезанный слой имеет размеры , а все ребра получившегося куба имеют размеры .
А дальше ситуация повторяется.
4. Четвертый отрезанный слой имеет размеры . Грани , , и имеют размеры . Грань - .
5. Пятый отрезанный слой имеет размеры . Его масса во столько же раз меньше массы первоначального куба, во сколько раз его объем меньше объема первоначального куба
6. После отрезания слоя от шестой грани, останется куб с ребром . Его масса во столько же раз меньше массы первоначального куба, во сколько раз его объем меньше объема первоначального куба