Инженерная олимпиада 2024, 10 класс, задача 4
После того как часы показали часов ночи, что-то пошло не так, и часовая стрелка стала двигаться назад (противоположно обычному направлению) с втрое большей, чем раньше, угловой скоростью. Минутная стрелка продолжала идти правильно. Сколько раз за следующие сутки минутная стрелка на этих часах оказывалась перпендикулярной часовой стрелке? Ответ обосновать.
Ответ
Решение.
После порчи часов угловая скорость часовой стрелки стала равна
Поэтому за часа (за сутки) часовая стрелка сделает целых оборотов. Минутная стрелка (идущая с «правильной» угловой скоростью) сделает за сутки целых оборота. Поэтому и в начале, и в конце суток положения стрелок совпадают. Очевидно, на каждом обороте минутной стрелки относительно часовой минутная стрелка будет дважды перпендикулярна часовой. Поэтому нужно посчитать количество оборотов минутной стрелки относительно часовой.
Очевидно, что количество оборотов минутной стрелки относительно часовой равно количеству встреч этих стрелок за сутки (кроме той встречи, с которой сутки начались). А поскольку часовая стрелка движется навстречу минутной и совершает за сутки оборотов, а минутная - , то за сутки произойдет встреч минутной и часовой стрелок. Поэтому за сутки на таких часах минутная стрелка будет перпендикулярна часовой стрелке раз.