График потенциала
Три одинаковых тонких диска радиусом , однородно заряженных с поверхностной плотностью , и , расположены так, что ось является общей осью этих дисков, при этом центры дисков находятся в точках с координатами , и , где . Потенциал в центре уединённого диска, заряженного однородно с поверхностной плотностью , равен В. Потенциал бесконечно удалённой точки считается равным нулю.
А) Получите формулу , дающую потенциал в центре уединённого однородно заряженного диска. Эту формулу разрешается использовать при выполнении задания следующего пункта, даже если вы не можете её вывести.
Б) Изобразите график зависимости потенциала электрического поля дисков в точках, лежащих на оси , от безразмерной координаты для значений , принадлежащих отрезку [; ] .
Ответ
Решение
А) Потенциал в центре получается в результате интегрирования (суммирования) потенциалов центров тонких колец, на которые разбивается диск
(1)
Б) Поскольку поле на расстояниях порядка однородное, потенциал уединённого диска на оси рядом с центром изменяется линейно в зависимости от координаты
(2)
Последняя формула может быть получена также в результате интегрирования по кольцам, похожего на вывод формулы (1). Действительно, потенциал на оси диска в точке с координатой равен
При малых в подкоренном выражении в этой формуле можно пренебречь :
так что в итоге получится соотношение (2). Рассмотрев суперпозицию трёх дисков, найдём на основе соотношений (1) и (2) зависимость потенциала системы дисков от координаты:
(3)
Учитывая, что , получаем, раскрыв модули в формуле (3), зависимость потенциала от безразмерной координаты на интересующем нас отрезке
Искомый график изображён на рис. 1.
Этот график можно получить и без использования формулы (2). Систему дисков можно рассматривать, как суперпозицию двух конденсаторов: обкладки одного заряжены с поверхностной плотностью , расстояние между ними равно , обкладки другого заряжены с поверхностной плотностью , расстояние между ними равно . Потенциал поля уединённого конденсатора, с поверхностными зарядами на обкладках, расположенных в точках с координатами , даётся формулами
(4)
Отметим, что формулы (4) удовлетворяют условию равенства нулю потенциала в бесконечно удалённой точке, при этом снаружи конденсатора потенциал можно считать постоянным только вблизи конденсатора. Сложив потенциалы полей конденсаторов, получим искомый график.
Ответ: А) формула выводится суммированием потенциалов малых зарядов, на которые делится диск; Б) искомый график изображён на рис. 1.