Быстрые поршни
Два одинаковых вертикальных тонкостенных цилиндрических сосуда внутреннего радиуса , в которых под поршнями находятся равные количества идеального газа, поставили в комнату с температурой воздуха . В одном сосуде газ имеет температуру меньше (), а в другом — температуру больше (). Поршень и дно цилиндров теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки прямо пропорциональна произведению площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: , где — некоторая константа. Атмосферное давление , поршни лёгкие. Молярная теплоёмкость газа в сосудах при постоянном давлении . Известно, что максимальные скорости, с которыми двигались поршни каждого из цилиндров вплоть до установления в них комнатной температуры, равны по модулю . Выразите через и .
Поскольку поршни лёгкие и могут перемещаться без трения, давление внутри и снаружи одинаковое (равно ). Объём газа под поршнем , где — высота расположения поршня. Уравнение Менделеева–Клапейрона для газа внутри цилиндра
.
Для малых изменений высоты и температуры
,
где .
Изменение температуры газа происходит изобарически. Уравнение теплового баланса для малого промежутка времени
.
Из трёх записанных уравнений находим связь скорости и температуры:
.
Иначе
,
где .
Графическое отображение полученной зависимости — парабола, пересекающая ось абсцисс в точках и .
Для горячего цилиндра максимальное значение скорости достигается в начальной точке движения при и равно по модулю
.
Для холодного цилиндра максимальное значение скорости не определяется однозначно. При оно также достигается в начальной точке движения при и равно
.
Если , то максимум скорости соответствует значению (вершина параболы) и равен
.
Приравнивая выражения для скоростей , находим искомое.
При получим . Решаем квадратное уравнение (относительно ):
,
оставляем только положительный корень.
Итак:
.
При получим . Решаем квадратное уравнение (относительно ):
,
оставляем только положительный корень.
Итак:
.
Записано отдельно или используется в решении уравнение Менделеева–Клапейрона.
Для малых изменений высоты и температуры записано уравнение, эквивалентное .
Записано отдельно или используется в решении уравнение теплового баланса.
Для малого промежутка времени записано уравнение теплового баланса, эквивалентное .
Получено выражение вида , где .
Проведён анализ динамики скорости движения поршня горячего цилиндра.
Найден момент, соответствующий максимуму скорости движения поршня горячего цилиндра.
Записано выражение для максимальной скорости горячего цилиндра: .
Проведён анализ динамики скорости движения поршня холодного цилиндра.
Найдена критическая точка, разделяющая два случая: .
Найдено значение максимальной скорости для случая , которое также достигается в начальной точке движения при , и равно .
Получен верный ответ для случая : .
Получен верный ответ для случая : .