Инженерная олимпиада 2024, 11 класс, задача 3
Изогнутый под прямым углом жесткий стержень вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси . Длина колена стержня равна , колено стержня очень длинное. Стержень проходит через маленькое колечко , которое может скользить по прямой , находящейся на расстоянии от оси (см. рисунок). Найти скорость колечка в момент времени, когда угол равен .
Ответ
Решение.
Чтобы найти скорость колечка в рассматриваемый момент времени рассмотрим малое перемещение колечка за некоторый малый интервал времени около того момента времени, когда часть стержня составляет угол с прямой . За этот интервал времени часть стержня повернется на малый угол по сравнению со своим первоначальным положением, изменится также и положение точки (см. рисунок; первоначальное положение стержня и колечка показано бледным). Очевидно, перемещением колечка является отрезок на рисунке, который можно найти как
где - длина участка стержня от точки до колечка (поскольку перемещение точки является малым, то вклад изменения положения точки в перемещение колечка будет очень малой величиной и его учитывать не нужно). А так как
то для скорости колечка получаем
Найдем теперь длину . Геометрически находим
Отсюда находим
В результате для скорости колечка получаем