Инженерная олимпиада 2026, 11 класс, задача 6
Массивный стержень, расположенный в вертикальной плоскости, опирается своими концами на две гладкие взаимно перпендикулярные плоскости, одна из которых наклонена под углом к горизонту (см. рисунок, ). При каком угле между стержнем и горизонтом стержень будет находиться в равновесии? Будет ли это равновесие устойчивым?
Решение.
Условием равновесия стержня является условие максимальной или минимальной высоты расположения над землей его центра тяжести. Найдем положение центра тяжести стержня как функцию угла , а затем найдем экстремум этой функции.
Верхняя точка стержня поднята на высоту
над уровнем нижнего ребра двухгранного угла ( - длина стержня). А центр тяжести стержня опущен на высоту
по отношению к верхней точке. Поэтому центр тяжести стержня будет на высоте
по отношению к нижнему ребру двухгранного угла. Если считать угол положительным, когда верхний конец стержня опирается на левую грань двухгранного угла (наклоненную под углом к горизонту) и отрицательным, когда верхний конец стержня опирается на правую грань, то эта формула работает для
( отвечает положению стержня, прижатому к левой грани, отвечает положению стержня, прижатому к правой грани).
Экстремум функции можно найти, дифференцируя эту функцию по и приравнивая производную к нулю. А можно воспользоваться соответствующей тригонометрической формулой. Имеем
Из этой формулы видим, что в тех пределах, в которых меняется угол , аргумент последнего синуса меняется от до и достигает минимумов на краях этого интервала, а максимума при
Это и есть положения равновесия стержня: на краях интервала, т.е. когда стержень касается граней двухгранного угла, это положения устойчивого равновесия, при
- положение неустойчивого равновесия.
Правильно найдена высота расположения центра тяжести
Правильно определены пределы изменения угла φ
Правильно найден экстремум высоты
Правильно доказано, что минимумы высоты расположения центра тяжести достигаются в положениях стержня около граней двухгранного угла
Правильно доказано, что угол φ = 2α - 90° отвечает неустойчивому равновесию