Инженерная олимпиада 2025, 11 класс, задача 4
Внутри абсолютно гладкой сферы радиуса находятся два маленьких тела с массами и , связанными жестким невесомым стержнем с длиной, равной радиусу сферы. Тела находятся в равновесии. Определить угол между стержнем и горизонталью (см. рисунок).
Решение.
Рассмотрим условие равновесия системы, состоящей из двух шариков и стержня. Сумма внешних сил, действующих на систему, и их моментов равна нулю относительно любой оси. Внешними для системы являются сила тяжести , приложенная к ее центру тяжести, и две силы реакции, действующие на шарики перпендикулярно поверхности сферы, поскольку трения нет. А поскольку силы реакции действуют по прямым, проходящим через центр сферы, то из условия равенства нулю суммы моментов относительно центра сферы следует, что момент силы тяжести, действующей на систему, относительно центра сферы равен нулю. Это значит, что центр тяжести системы находится под центром сферы.
А поскольку центр тяжести находится ближе к более массивному телу, то оно находится ближе к вертикальной прямой, проходящей через центр сферы. Поэтому тело с массой находится ниже, тело с массой - выше (см. рисунок), а центр тяжести системы (отмечен кружком на рисунке) находится на одной вертикали с центром сферы.
Так как центр тяжести системы тел делит стержень в отношении , и длина стержня равна радиусу сферы, то
Поскольку треугольник равносторонний, то перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону, делит ее пополам, и потому
и
(как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), т.е. . Поэтому из треугольника находим
Другие тригонометрические функции угла :
Понято и обосновано (со ссылкой на уравнение моментов), что более тяжелый шарик находится ниже
Обосновано, что центр тяжести системы лежит на одной вертикали с центром
Правильно найдено положение центра тяжести (делит стержень в отношении 2:1)
Правильное геометрическое рассмотрение стержня (или так, как в приведенном решении, или как-то по-другому)
Правильный ответ